Question

4-хугольник MNPK вписан в окружность,а его диагонали пересекаются в точке A.Найдите AP,если NP=6,MA=9 и MP-биссектрисса угла NMK и в 4-хугольник MNPK можно вписать окружность

Answer 1

Решение в приложенном файле

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте введем несколько обозначений.

Пусть \(O\) - центр вписанной окружности в четырехугольнике \(MNPK\), \(r\) - радиус этой окружности, \(AP\) - высота из вершины \(A\) на сторону \(MN\).

Так как окружность вписана в четырехугольник \(MNPK\), то мы можем использовать свойства вписанных углов и теорему о биссектрисе. Также, так как точка \(A\) - точка пересечения диагоналей, она является центром окружности, вписанной в четырехугольник \(MNPK\). Таким образом, длины отрезков, проведенных из точек пересечения диагоналей до точек касания окружности с сторонами четырехугольника, равны.

Обозначим через \(B\), \(C\), \(D\) точки касания окружности с сторонами \(MN\), \(NK\), \(KP\) и \(PM\) соответственно. Тогда:

\[AB = AD = x\] \[BC = BN = ND = y\] \[CD = CK = KP = z\]

Итак, у нас есть следующие равенства:

\[x + y = MA = 9\] \[x + y + z = NP + MP = 6 + MP\]

Также, из свойства биссектрисы угла \(NMK\) мы можем написать:

\[\frac{MA}{MN} = \frac{PA}{PN}\]

Так как \(MA = 9\) и \(MN = 2y + z\), получаем:

\[\frac{9}{2y + z} = \frac{PA}{PN}\]

Теперь мы можем представить \(PN\) через известные величины. Так как \(PN = NP = 6\), подставим это значение:

\[\frac{9}{2y + z} = \frac{PA}{6}\]

Отсюда можно выразить \(PA\):

\[PA = \frac{9 \cdot 6}{2y + z}\]

Теперь давайте рассмотрим еще одно соотношение для выражения \(MP\). Так как \(M\) - точка касания окружности с \(PM\), то:

\[MA \cdot MB = MP^2\]

Подставим известные значения:

\[9 \cdot (x + y) = MP^2\]

Так как \(x + y = MA/2\), получаем:

\[9 \cdot \frac{MA}{2} = MP^2\]

Отсюда находим \(MP\):

\[MP = \sqrt{\frac{9 \cdot MA}{2}}\]

Теперь мы можем подставить это значение в уравнение для \(PA\) и получить ответ:

\[PA = \frac{9 \cdot 6}{2y + z}\]