Question

3^(x^2-2x+2)-3^(x^2-2x)<=8*27^(4-x)

Answer 1

Запишем 27^(4-x)=3^(12 - 3x)
В левой части неравенства вынесем общий множитель за скобки.
3^(x^2 - 2x)(3^2 -  1) ≤ 8·3^(12 - 3x)⇒x^2 - 2x≤ 12 - 3x⇒x^2 +x -12 ≤0. Ищем корни х = - 4 и х = 3. Данное неравенство выполняется, если х∈[-4;3]

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, давайте разберемся с ним поэтапно. Имеем неравенство:

\[3^{(x^2 - 2x + 2)} - 3^{(x^2 - 2x)} \leq 8 \cdot 27^{(4 - x)}\]

Для упрощения неравенства воспользуемся свойствами степеней:

\[3^{(x^2 - 2x + 2)} \cdot (1 - 3^{-2}) \leq 8 \cdot 3^{(3 \cdot (4 - x))}\]

Теперь приведем выражения к общему знаменателю:

\[\frac{3^{(x^2 - 2x + 2)} \cdot (1 - 3^{-2})}{3^{(x^2 - 2x)}} \leq \frac{8 \cdot 3^{(3 \cdot (4 - x))}}{1}\]

Упростим числитель в левой части:

\[3^{(x^2 - 2x + 2)} \cdot \frac{2}{3} \leq 8 \cdot 3^{(3 \cdot (4 - x))}\]

Теперь избавимся от дроби в левой части, умножив обе стороны на \(\frac{3}{2}\):

\[3^{(x^2 - 2x + 2)} \leq \frac{4}{3} \cdot 3^{(3 \cdot (4 - x))}\]

Далее, преобразим правую часть:

\[3^{(x^2 - 2x + 2)} \leq \frac{4 \cdot 3^{12}}{3 \cdot 3^x}\]

Упростим дробь в правой части:

\[3^{(x^2 - 2x + 2)} \leq \frac{4 \cdot 3^{11}}{3^x}\]

Теперь можно заметить, что левая часть неравенства представляет собой степень числа 3, а правая часть также содержит степень числа 3. Мы можем привести их к общему основанию, чтобы упростить сравнение:

\[3^{(x^2 - 2x + 2)} \leq 3^{11 - x}\]

Теперь сравниваем показатели степени:

\[x^2 - 2x + 2 \leq 11 - x\]

Приведем все члены к одной стороне:

\[x^2 - x + 13 \leq 0\]

Теперь решим квадратное неравенство. Для этого найдем корни квадратного уравнения:

\[x^2 - x + 13 = 0\]

Дискриминант этого уравнения равен \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 1 - 52 = -51\), что отрицательно. Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение имеет два комплексных корня.

Следовательно, неравенство \[x^2 - x + 13 \leq 0\] выполняется для всех значений \(x\).

Таким образом, исходное неравенство \[3^{(x^2 - 2x + 2)} - 3^{(x^2 - 2x)} \leq 8 \cdot 27^{(4 - x)}\] выполняется для всех значений \(x\).