Question

Пж решите неравенство 1 )2^x^2> (1/2)^2x- 2)Корень из x-1 больше либо равно 0 3)log2 (x-7)меньше либо равно 3 4)log1/2 (x-7)больше либо равно 3 Даю 30 за полное решение и ответ пж пж

Answer 1

1)
 $2^{ x^{2} } \ \textgreater \ (\frac{1}{2} )^{2x}$
ОДЗ: х - любое значение
$2^{ x^{2} } \ \textgreater \ 2^{-2x}$
При равных основаниях, больших единицы (а у нас 2>1), знак неравенства сохраняется и для показателей степеней.
х² > - 2x
х²+2х > 0
x(x+2) > 0

         +               -                               +
________|____________|________________
                -2                      0

Ответ: х ∈ ]-∞; -2[∪]0; +∞[

2) 
$\sqrt{x-1} \geq 0$
ОДЗ: х-1 ≥0;    => x≥1
$( \sqrt{x-1} )^{2} \geq 0^{2}$
$x-1 \geq 0$
$x \geq 1$
Ответ: x∈[1;  + ∞[

3)
$log_{2}(x-7) \leq 3$
ОДЗ: х-7>0     =>   x>7
$log_{2} (x-7)\leq log_{2}8$
Если основание логарифма в неравенстве больше единицы, то знак неравенства сохраняется и для чисел.
$x-7 \leq 8$
$x \leq 7+8$
$x \leq 15$
Учитывая ОДЗ x>7 и наше решение х≤15, получаем ответ: 7<x≤15
Ответ: х∈]7; 15]

4)
$log_{ \frac{1}{2} } (x-7) \geq 3$
ОДЗ: х-7 >0     =>   x>7
$log_{ \frac{1}{2} } (x-7) \geq log_{ \frac{1}{2} } \frac{1}{8}$
Если основание логарифма в неравенстве меньше единицы, то знак неравенства для чисел меняется на противоположный.
$x-7 \leq \frac{1}{8}$
Умножив обе части на 8, получим:
$8x-56\leq 1$
$8x \leq 57$
$x \leq7,125$
Учитывая ОДЗ: x>7 и наше решение х≤7,125 получаем ответ: 7<x≤7,125
Ответ: х∈]7;  7,125]

Answer 2

Конечно, давайте решим каждое неравенство по очереди:

1) \(2^{x^2} > \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} + 2\)

Давайте воспользуемся следующим приемом: заметим, что \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x\). Тогда мы можем переписать неравенство следующим образом:

\[2^{x^2} > \left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2\]

Теперь обозначим \(y = 2^x\) и получим:

\[y^2 > \frac{