Question

Решите уравнение : lg(x^2+1)-lg(x-2)=1

Answer 1

Решение в прикрепленном файле.

Answer 2

Давайте решим уравнение \(\lg(x^2 + 1) - \lg(x - 2) = 1\), где \(\lg\) обозначает десятичный логарифм.

Используем свойство логарифмов \(\lg(a) - \lg(b) = \lg\left(\frac{a}{b}\right)\). Применим это свойство к уравнению:

\(\lg(x^2 + 1) - \lg(x - 2) = \lg\left(\frac{x^2 + 1}{x - 2}\right) = 1\)

Теперь преобразим уравнение:

\(\frac{x^2 + 1}{x - 2} = 10^1\)

Упростим числитель:

\(x^2 + 1 = 10(x - 2)\)

Раскроем скобки:

\(x^2 + 1 = 10x - 20\)

Припишем все члены к одной стороне уравнения:

\(x^2 - 10x + 21 = 0\)

Теперь решим квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае: \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = 21\).

\[x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(21)}}{2(1)}\]

\[x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}\]

\[x = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2}\]

\[x = \frac{10 \pm 4}{2}\]

Таким образом, у нас есть два решения:

1. \(x = \frac{10 + 4}{2} = 7\) 2. \(x = \frac{10 - 4}{2} = 3\)

Итак, уравнение \(\lg(x^2 + 1) - \lg(x - 2) = 1\) имеет два решения: \(x = 7\) и \(x = 3\).