Question

При каком натуральном значении n, выражение n-6/n-7 принимает целые значения?

Answer 1

При значении 8

8-6\8-7=2\1=2

Answer 2

Выражение \( \frac{n-6}{n-7} \) примет целые значения, если числитель будет делиться на знаменатель без остатка. В данном случае, чтобы \( n-6 \) делилось на \( n-7 \) без остатка, достаточно, чтобы числитель и знаменатель были взаимно простыми числами, т.е., чтобы у них не было общих делителей, кроме единицы.

Так как \( n \) — натуральное число, то при каких значениях \( n \) это условие выполняется? Если \( n - 6 \) и \( n - 7 \) взаимно просты, значит, они не имеют общих делителей, кроме единицы.

Исследуем \( n - 6 \) и \( n - 7 \):

Если \( n - 6 \) и \( n - 7 \) взаимно просты, то их наибольший общий делитель должен быть равен 1.

\( \text{НОД}(n - 6, n - 7) = 1 \)

Применим алгоритм Евклида:

\(\text{НОД}(n - 6, n - 7) = \text{НОД}(n - 6, (n - 7) - (n - 6)) = \text{НОД}(n - 6, 1)\)

Так как НОД любого числа и 1 равен 1, это означает, что \( n - 6 \) и \( n - 7 \) взаимно просты для любого натурального \( n \), так как разница между ними всегда равна 1.

Таким образом, выражение \( \frac{n-6}{n-7} \) примет целые значения для любого натурального \( n \).