Question

Помогите, пожалуйста, с решением. "Найти наименьшее значение функции 3/(log3(x-1)+log5(x+1)) на отрезке [2;4]"

Answer 1

Во-первых, область определения данной функции:
$\left \{ {{\log_3(x-1)+\log_5(x+1)\neq0 } \atop {x-1> 0}}} \right.$
то есть включает в себя данный отрезок [2;4].
Во-вторых, на этом отрезке знаменатель - строго возрастающая функция.
Поэтому, наименьшее значение функции в точке х=4
$\frac{3}{\log_3(4-1)+\log_5(4+1)}= \frac{3}{2}$

Answer 2

Конечно, рад помочь! Чтобы найти наименьшее значение функции \( \frac{3}{{\log_3(x-1) + \log_5(x+1)}} \) на отрезке \([2;4]\), начнем с анализа этой функции.

При работе с логарифмами, удобно использовать свойства логарифмов. Заметим, что можно объединить логарифмы с разными основаниями в один, используя формулу изменения основания логарифма:

\[ \log_a{b} = \frac{{\log_c{b}}}{{\log_c{a}}} \]

Давайте перепишем функцию, объединив логарифмы с разными основаниями:

\[ f(x) = \frac{3}{{\log_3(x-1) + \log_5(x+1)}} \] \[ f(x) = \frac{3}{{\frac{{\log{(x-1)}}}{{\log{3}}} + \frac{{\log{(x+1)}}}{{\log{5}}}}} \]

Чтобы найти наименьшее значение этой функции на отрезке \([2;4]\), нужно проанализировать её поведение в пределах этого отрезка. Мы можем найти производную функции \(f(x)\) и найти её нули или критические точки, чтобы определить, где функция достигает своего минимума.

Сначала найдем производную функции \(f(x)\):

\[ f'(x) = -\frac{{3\left(\frac{1}{{(x-1)\ln{3}}} + \frac{1}{{(x+1)\ln{5}}}\right)}}{{\left(\frac{\log{(x-1)}}{\log{3}} + \frac{\log{(x+1)}}{\log{5}}\right)^2}} \]

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ -\frac{{3\left(\frac{1}{{(x-1)\ln{3}}} + \frac{1}{{(x+1)\ln{5}}}\right)}}{{\left(\frac{\log{(x-1)}}{\log{3}} + \frac{\log{(x+1)}}{\log{5}}\right)^2}} = 0 \]

Решив это уравнение, мы сможем найти значения \(x\), соответствующие критическим точкам функции \(f(x)\) на отрезке \([2;4]\). После этого можно будет проверить значения \(f(x)\) в этих точках и на концах отрезка, чтобы найти наименьшее значение функции \(f(x)\) на данном интервале.