Question

На первом курсе учатся 100 человек. из них 5 не любят заниматься спортом. теннисом и футболом занимаются по 52 учащихся, волейболом и футболом - 22, теннисом и волейболом - 13, футболом и теннисом - 29. Сколько учащихся занимаются только волейболом?

Answer 1

1)100 - 5 = 95(чел) - любят спорт
2)95-(2+22+13+29)=95-66=29 (чел) - волейбол
Ответ:29

Answer 2

Давайте решим эту задачу методом включения и исключения, используя формулу включения-исключения.

Обозначим:

- \( A \) - количество учащихся, занимающихся теннисом, - \( B \) - количество учащихся, занимающихся волейболом, - \( C \) - количество учащихся, занимающихся футболом.

Также обозначим:

- \( n(A) \) - количество учащихся, занимающихся только теннисом, - \( n(B) \) - количество учащихся, занимающихся только волейболом, - \( n(C) \) - количество учащихся, занимающихся только футболом, - \( n(A \cap B) \) - количество учащихся, занимающихся и теннисом, и волейболом, - \( n(A \cap C) \) - количество учащихся, занимающихся и теннисом, и футболом, - \( n(B \cap C) \) - количество учащихся, занимающихся и волейболом, и футболом, - \( n(A \cap B \cap C) \) - количество учащихся, занимающихся и теннисом, и волейболом, и футболом.

Тогда по формуле включения-исключения:

\[ n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) \]

Теперь подставим известные значения:

\[ n(A \cup B \cup C) = 100 - 5 = 95 \] (всего 100 человек, из которых 5 не любят заниматься спортом).

\[ n(A) = 52 + 13 + 29 - n(A \cap B) = 94 - n(A \cap B) \] (из тех, кто занимается теннисом, вычитаем тех, кто занимается и теннисом, и волейболом, и тех, кто занимается и теннисом, и футболом).

\[ n(B) = 22 + 13 - n(A \cap B) = 35 - n(A \cap B) \] (из тех, кто занимается волейболом, вычитаем тех, кто занимается и теннисом, и волейболом).

\[ n(C) = 22 + 29 - n(A \cap B) = 51 - n(A \cap B) \] (из тех, кто занимается футболом, вычитаем тех, кто занимается и теннисом, и футболом).

Теперь подставим эти значения в формулу включения-исключения:

\[ 95 = (94 - n(A \cap B)) + (35 - n(A \cap B)) + (51 - n(A \cap B)) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) \]

Упростим выражение:

\[ 95 = 180 - 3n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) \]

Теперь нам нужно выразить \( n(A \cap B) \), \( n(A \cap C) \), \( n(B \cap C) \), и \( n(A \cap B \cap C) \).

Нам дано:

\[ n(A \cap B) = 13 \] \[ n(A \cap C) = 29 \] \[ n(B \cap C) = 22 \]

Также, обратим внимание, что:

\[ n(A \cap B \cap C) = ? \]

Теперь мы можем подставить известные значения и решить уравнение:

\[ 95 = 180 - 3(13) - 29 - 22 + n(A \cap B \cap C) \]

\[ 95 = 180 - 39 - 29 - 22 + n(A \cap B \cap C) \]

\[ 95 = 90 + n(A \cap B \cap C) \]

\[ n(A \cap B \cap C) = 5 \]

Таким образом, у нас есть все необходимые значения. Теперь найдем количество учащихся, занимающихся только волейболом (\( n(B) \)):

\[ n(B) = 35 - n(A \cap B) = 35 - 13 = 22 \]

Итак, 22 учащихся занимаются только волейболом.