Question

Найдите сумму возможных целых значений третьей высоты треугольника, две другие высоты которого равны 2 и 3

Answer 1

// /////// //////////// ////

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами треугольников. Пусть a, b и c - стороны треугольника, а h₁, h₂ и h₃ - соответствующие высоты.

В общем случае, площадь треугольника можно выразить двумя способами:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h₁\] \[S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h₂\] \[S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h₃\]

Из этих равенств следует, что:

\[h₁ = \frac{2S}{a}\] \[h₂ = \frac{2S}{b}\] \[h₃ = \frac{2S}{c}\]

Теперь, если у нас есть две высоты (h₁ и h₂), равные 2 и 3 соответственно, то мы можем записать уравнения:

\[2 = \frac{2S}{a}\] \[3 = \frac{2S}{b}\]

Решим эти уравнения относительно a и b. Для этого умножим оба уравнения на a и b соответственно:

\[2a = \frac{2S}{b}\] \[3b = \frac{2S}{a}\]

Теперь сложим оба уравнения:

\[2a + 3b = \frac{2S}{b} + \frac{2S}{a}\]

Далее упростим уравнение:

\[2a + 3b = \frac{2Sa + 2Sb}{ab}\]

Умножим обе стороны на ab:

\[2ab + 3ab = 2Sa + 2Sb\]

\[5ab = 2Sa + 2Sb\]

Теперь выразим S:

\[S = \frac{5ab}{2a + 2b}\]

Мы знаем, что \(h₃ = \frac{2S}{c}\). Подставим значение S:

\[h₃ = \frac{2 \cdot \frac{5ab}{2a + 2b}}{c}\]

Упростим выражение:

\[h₃ = \frac{5ab}{a + b}\]

Таким образом, мы получили формулу для третьей высоты в терминах сторон треугольника a и b. Теперь нам нужно найти все целочисленные значения a и b, при которых h₃ также является целым числом.

Поскольку h₁ = 2 и h₂ = 3, мы можем просто подставить эти значения в уравнение и решить:

\[2 = \frac{5ab}{a + b}\] \[3 = \frac{5ab}{a + b}\]

Решение этой системы уравнений даст нам значения a, b и, следовательно, c, при которых третья высота h₃ также будет целым числом.