Question

1. Найдите производную функции f(x)=x^3*3^x и вычислите f'(1) 2. Исследуйте функцию и постройте её график f(x)=2x^3-9x^2+12x-4 3.Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями. y=x^3-1, y=0, x=0

Answer 1

1) f"- это производная
f(x)=x^3*3^x     f"(1)-?
 f"=(x^3)"3^x+(3^x)"x^3=3x^2*3^x+x^3*3^x*ln3
 f"(1)=1*3^2+3*ln3=9+3*ln3

3) По точкам постройте линию у=х^3-1, это гипербола со смещенной вершиной. Вершина в точке (0;-1). Ограничена эта гипербола осями ох и оу. Искомая площадь находится ниже ос ох, значит результат вычислений берем по модулю.
S= интеграл от 0 до 1 от((x^3-1)dx=(x^4/4-x)от 0 до 1=1/4(1^4-0^4)-(1-0) =1/4-1=
=3/4
S=3/4

Answer 2

Конечно, начнем с первого вопроса:

1. Производная функции \( f(x) = x^3 \cdot 3^x \)

Для нахождения производной данной функции используем правило производной произведения и правило дифференцирования степенной функции.

\[ f(x) = x^3 \cdot 3^x \]

Для удобства можно переписать функцию в виде \( f(x) = x^3 \cdot e^{x \ln 3} \), где \( e \) - основание натурального логарифма.

Теперь возьмем производную:

\[ f'(x) = 3x^2 \cdot e^{x \ln 3} + x^3 \cdot \ln 3 \cdot e^{x \ln 3} \] \[ f'(x) = 3x^2 \cdot 3^x + x^3 \cdot \ln 3 \cdot 3^x \]

Теперь найдем \( f'(1) \):

\[ f'(1) = 3 \cdot 1^2 \cdot 3^1 + 1^3 \cdot \ln 3 \cdot 3^1 \] \[ f'(1) = 3 \cdot 3 + \ln 3 \cdot 3 = 9 + 3 \ln 3 \]

2. Исследование функции \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4 \)

График функции:

Для начала построим график функции:

\[ f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4 \]

Используем математические программы, такие как Python с библиотекой Matplotlib или Wolfram Alpha, чтобы построить график функции.

Построение графика:

Изобразим график функции \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4 \):

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def f(x):
    return 2 * x3 - 9 * x2 + 12 * x - 4

x = np.linspace(-2, 4, 400)
y = f(x)

plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.title('Graph of f(x)')
plt.show()

Площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

Функция \( y = x^3 - 1 \) и оси \( x \) и \( y \) образуют фигуру, ограниченную этими линиями. Чтобы найти площадь этой фигуры, нужно найти площадь области между кривой \( y = x^3 - 1 \), осью \( x \) и прямой \( y = 0 \), ограниченной слева точкой \( x = 0 \).

Это будет интеграл от \( x = 0 \) до корня уравнения \( x^3 - 1 = 0 \), то есть \( x = 1 \).

\[ \text{Площадь} = \int_{0}^{1} (x^3 - 1) \,dx \]

Вычислим этот интеграл:

\[ \int_{0}^{1} (x^3 - 1) \,dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{4} - 1 \right) - \left( 0 - 0 \right) = -\frac{3}{4} \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = x^3 - 1 \), осью \( x \) и прямой \( y = 0 \), равна \( -\frac{3}{4} \).

Давайте знаешь, если тебе нужно что-то еще!