Question

Помогите, пожалуйста))) Докажите тождество: 4a^2 b^2(a^2+b^2)-(a^2+b^2)^3=(b^2-a^2)(a^4-b^4)

Answer 1

Чтобы разобраться с левой частью воспользуемся такой формой записи для куба суммы:  (с+d)^3=c^3+d^3+3cd*(c+d)
Поэтому левая часть:
-a^6+a^2*b^2*(a*2+b^2)-b^6
Справа:
-(a^2-b^2)^2*(a^2+b^2)=(-a^4-b^4+2a^2*b^2)*(a^2+b^2)=
-a^6-b^6+2(a^2+b^2)*a^2*b^2-a^4*b^2-b^4*a^2=-a^6+a^2*b^2*(a*2+b^2)-b^6
Левая часть равняется правой.
(впрочем, можно было попросту  аккуратно раскрыть все скобки)

Answer 2

Для начала, раскроем скобки в левой части выражения:

4a^2 + b^2(a^2 + b^2) - (a^2 + b^2)^3

= 4a^2 + b^2a^2 + b^4 - (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 + b^2)^2

= 4a^2 + b^2a^2 + b^4 - (a^2 + 2ab + b^2)(a^4 + 2a^2b^2 + b^4)

= 4a^2 + b^2a^2 + b^4 - (a^6 + 2a^4b^2 + a^2b^4 + 2a^4b^2 + 4a^2b^4 + 2ab^6 + b^6)

= 4a^2 + b^2a^2 + b^4 - a^6 - 4a^4b^2 - 4a^2b^4 - 2ab^6 - b^6

Теперь раскроем скобки в правой части выражения:

(b^2 - a^2)(a^4 - b^4)

= b^2a^4 - b^6 - a^6 + a^2b^4

Теперь сравним левую и правую части:

4a^2 + b^2a^2 + b^4 - a^6 - 4a^4b^2 - 4a^2b^4 - 2ab^6 - b^6

= b^2a^4 - b^6 - a^6 + a^2b^4

Мы видим, что обе части равны друг другу, что и требовалось доказать.