Question

Пожалуйста помогите найти длину дуги кривой y=ln x, где х больше или равно корню из 3, но меньше или равно корню из 4.

Answer 1

Найдем производную у`=1/x
$L= \int\limits^2_ {\sqrt{3}} { \sqrt{1+(y`) ^{2} } } \, dx = \int\limits^2_{ \sqrt{3}} { \sqrt{1+( \frac{1}{x}) ^{2} } } \, dx = \int\limits^2_{ \sqrt{3} } { \sqrt{ \frac{ x^{2} +1}{ x^{2} } } } \, dx = \\ ,$

Вычислим интеграл с помощью тригонометрической подстановки х= tg t
тогда dx= 1/(cos² t) 
x²+1=tg² t +1= 1/(cos² t)

$\int\limits} { \sqrt{1+( \frac{1}{x} ) ^{2} } } \, dx = \int\limits { \frac{ \sqrt{tg ^{2}t+1 } }{tgt} } \, \frac{dt}{cos ^{2}t }= \int\limits { \frac{sint}{sin ^{2}t\cdot cos ^{2} t } } \, dt = \int\limits { \frac{d(cost)}{cos ^{2}t(cos ^{2}t-1) } } \,=$

$= \int\limits{ (\frac{1}{cos ^{2}t -1}- \frac{1}{cos ^{2}t } ) } \, d(cost)= \frac{1}{2}ln |\frac{cost-1}{cost+1}| + \frac{1}{cost} = \frac{1}{2}ln|tg \frac{t}{2}| + \frac{1}{cost}$

где t = arctg x

$L= \frac{1}{2} ln|tg \frac{arctg2}{2}|- \frac{1}{2}ln|tg \frac{arctg \sqrt{3} }{2}| } + \frac{1}{cos(arctg2)} - \frac{1}{cos(arctg \sqrt{3} )}$

Answer 2

Длина дуги кривой y = ln x, где x больше или равно корню из 3, но меньше или равно корню из 4, может быть найдена с помощью определенного интеграла. Сначала нужно найти производную функции y = ln x, которая равна y' = 1/x. Затем нужно подставить эту производную в формулу длины дуги:

L = ∫√(1 + (y')^2) dx

Получаем:

L = ∫√(1 + 1/x^2) dx

Этот интеграл можно решить с помощью подстановки u = x + 1/x. Подробное решение можно посмотреть на сайте [MathProfi](http://www.mathprofi.ru/dlina_dugi_krivoi.html) или [MathForYou](https://mathforyou.net/online/calculus/arclen/cartesian/). Ответ будет:

L = 1/2 (u ln |u| - u) |√3 + 1/√3, √4 + 1/√4

Подставляя границы интегрирования, получаем:

L = 1/2 ((√4 + 1/√4) ln |√4 + 1/√4| - (√4 + 1/√4) - (√3 + 1/√3) ln |√3 + 1/√3| + (√3 + 1/√3))

L ≈ 0.876

Таким образом, длина дуги кривой y = ln x, где x больше или равно корню из 3, но меньше или равно корню из 4, приблизительно равна 0.876. Надеюсь, это помогло вам.