Question

Найти неопределенный интеграл xdx/(x+4)

Answer 1

$\int \frac{x\, dx}{x+4} =\int \frac{(x+4)-4}{x+4}\, dx=\int \Big (1-\frac{4}{x+4}\Big )dx=\int dx-4\int \frac{dx}{x+4}=\\\\= x-4\cdot ln|x+4|+C\\\\\\P.S.\quad \int \frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\cdot ln|ax+b|+C$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам найти неопределенный интеграл:

\[ \int \frac{x}{x+4} \,dx \]

Для решения данного интеграла давайте воспользуемся методом частичного деления. Мы предполагаем, что ответ имеет вид:

\[ \int \frac{x}{x+4} \,dx = \int \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) \,dx \]

Теперь разбиваем интеграл:

\[ \int \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) \,dx = \int 1 \,dx - \int \frac{4}{x+4} \,dx \]

Интеграл от константы 1 просто равен \(x\):

\[ x - \int \frac{4}{x+4} \,dx \]

Теперь решим второй интеграл. Для этого проведем замену переменной: \(u = x+4\), откуда \(du = dx\). Заменяя в интеграле:

\[ x - \int \frac{4}{x+4} \,dx = x - \int \frac{4}{u} \,du \]

Интеграл от \(\frac{4}{u}\) равен \(4\ln|u|\):

\[ x - \int \frac{4}{u} \,du = x - 4\ln|u| + C \]

Теперь заменяем обратно \(u\) на \(x+4\):

\[ x - 4\ln|u| + C = x - 4\ln|x+4| + C \]

Таким образом, неопределенный интеграл

\[ \int \frac{x}{x+4} \,dx \]

равен

\[ x - 4\ln|x+4| + C \]

где \(C\) - константа интегрирования.