Question

Найдите промежутки монотонности функции f(x)=x^3-6*x^2-15*x-2

Answer 1

F`(x)=3x²-12x-15=3(x²-4x-5)=0
x1+x2=4 U x1*x2=-5
x1=-1 U x2=5
     +                    _                  +
------------(-1)-----------------(5)--------------
возр              убыв                  возр

Answer 2

Для определения промежутков монотонности функции f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x - 2, мы должны анализировать производную этой функции и исследовать ее знаки на разных интервалах.

Давайте начнем с нахождения производной функции f(x). Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности. Производная функции f(x) будет равна:

f'(x) = (3x^2) - (12x) - 15

Теперь мы можем проанализировать знаки производной на различных интервалах, чтобы определить промежутки монотонности функции f(x).

Анализ знаков производной:

1. Найдем критические точки, где производная равна нулю или не определена: (3x^2) - (12x) - 15 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение или методы факторизации. После решения уравнения, мы находим две критические точки: x = -1 и x = 5

2. Оценим производную на интервалах, образованных критическими точками и граничными значениями функции: - Берем произвольное значение x < -1, например x = -2: Подставляем x = -2 в производную: f'(-2) = (3(-2)^2) - (12(-2)) - 15 = 12 - (-24) - 15 = 12 + 24 - 15 = 21 Знак производной на интервале (-∞, -1) будет положительным.

- Берем значение x между -1 и 5, например x = 0: Подставляем x = 0 в производную: f'(0) = (3(0)^2) - (12(0)) - 15 = 0 - 0 - 15 = -15 Знак производной на интервале (-1, 5) будет отрицательным.

- Берем произвольное значение x > 5, например x = 6: Подставляем x = 6 в производную: f'(6) = (3(6)^2) - (12(6)) - 15 = 108 - 72 - 15 = 21 Знак производной на интервале (5, +∞) будет положительным.

Определение промежутков монотонности:

Исходя из анализа знаков производной, мы можем определить промежутки монотонности функции f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x - 2:

- Функция f(x) монотонно возрастает на интервале (-∞, -1]. - Функция f(x) монотонно убывает на интервале [-1, 5]. - Функция f(x) монотонно возрастает на интервале [5, +∞).

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам понять промежутки монотонности функции f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x - 2. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.