Question

6) Докажите, что доя любого натурального n число 3^3n-1+2^4n-3 делится на 11

Answer 1

$3^{3n-1}+2^{4n-3}=9\cdot27^{n-1}+2\cdot 16^{n-1}$
Т.к. остаток от деления числа 27 на 11 равен 5 и числа 16 на 11 - тоже 5, то остаток от деления на 11 всей суммы равен остатку от деления на 11 числа $9\cdot5^{n-1}+2\cdot 5^{n-1}=11\cdot5^{n-1},$ т.е. все число делится на 11.

Answer 2

Для доказательства того, что для любого натурального числа n выражение 3^(3n-1) + 2^(4n-3) делится на 11, мы можем использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай Для n = 1, мы можем подставить значение n в выражение и проверить, делится ли оно на 11: 3^(3(1)-1) + 2^(4(1)-3) = 3^2 + 2^1 = 9 + 2 = 11

Видим, что выражение равно 11, что является кратным числу 11. Таким образом, базовый случай подтверждается.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого фиксированного, но произвольного значения k, выражение 3^(3k-1) + 2^(4k-3) делится на 11.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что если предположение индукции верно для k, то оно также верно для k + 1.

Рассмотрим выражение для k + 1: 3^(3(k+1)-1) + 2^(4(k+1)-3)

Мы можем переписать это выражение следующим образом: 3^(3k+2) + 2^(4k+1)

Давайте разложим каждое слагаемое на множители: 3^(3k+2) = 3 * 3^(3k) 2^(4k+1) = 2 * 2^(4k)

Теперь мы можем переписать выражение так: 3 * 3^(3k) + 2 * 2^(4k)

Мы можем вынести общий множитель 3 из первого слагаемого и общий множитель 2 из второго слагаемого: 3 * (3^(3k)) + 2 * (2^(4k))

Заметим, что в скобках у нас остались степени от предположения индукции. Таким образом, мы можем записать выражение как: 3 * (3^(3k-1) * 3) + 2 * (2^(4k-3) * 2)

Теперь давайте перепишем выражение в виде суммы: 3 * (3^(3k-1)) + 2 * (2^(4k-3))

Мы знаем, что предположение индукции верно для k, поэтому можем заменить первое слагаемое и второе слагаемое, чтобы получить: 11 * m + 11 * p, где m и p - целые числа

Таким образом, мы можем записать выражение в следующем виде: 11 * (m + p)

Видим, что полученное выражение является кратным числу 11. Это означает, что если предположение индукции верно для k, то оно также верно для k + 1.

Поэтому, используя метод математической индукции, мы доказали, что для любого натурального числа n выражение 3^(3n-1) + 2^(4n-3) делится на 11.