Question

1). S(3/cos^2X-1/x^2-4)dx= 2). S 3dx/9+x^2=

Answer 1

$1)\quad \int (\frac{3}{cos^2x}-\frac{1}{x^2}-4)dx=3\cdot tgx+\frac{1}{x}-4x+C\\\\2)\quad \int \frac{3\, dx}{9+x^2} = 3\cdot \frac{1}{3}arctg\frac{x}{3} +C=arctg \frac{x}{3} +C$

Answer 2

Для решения данных уравнений, мы можем использовать метод интегрирования. Давайте начнем с первого уравнения.

Решение первого уравнения

Мы имеем уравнение: \[ \int{\frac{3}{\cos^2(x)-\frac{1}{x^2}-4}}dx \]

Для начала, мы можем заметить, что \(\cos^2(x) - \frac{1}{x^2} - 4 = \frac{\cos^2(x)x^2-1-4x^2}{x^2} = \frac{\cos^2(x)x^2-4x^2-1}{x^2}\).

Мы можем попробовать провести замену переменной \(u = \cos(x)x\), тогда \(du = -\sin(x)dx\), исходя из тригонометрической тождества \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\), мы получаем \(\sin^2(x) = 1 - u^2\), а также \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - (1 - u^2) = u^2\).

Теперь наше уравнение примет вид: \[ \int{\frac{3}{u^2-4-1}}du = \int{\frac{3}{u^2-5}}du \]

Теперь мы можем попробовать провести дополнительную замену переменной, например, \(v = \frac{u}{\sqrt{5}}\), тогда \(du = \sqrt{5}dv\), и \(u^2 - 5 = 5v^2 - 5 = 5(v^2 - 1)\).

Наше уравнение примет вид: \[ \int{\frac{3\sqrt{5}}{5(v^2-1)}}dv \]

Теперь мы можем воспользоваться формулой интеграла от \(\frac{1}{a^2-x^2}\): \[ \int{\frac{1}{a^2-x^2}}dx = \frac{1}{2a}\ln{\frac{a+x}{a-x}} + C \]

Применяя эту формулу, получаем: \[ \frac{3\sqrt{5}}{5} \int{\frac{1}{v^2-1}}dv = \frac{3\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{2} \ln{\frac{v+1}{v-1}} + C \]

Используя обратные замены \(v = \frac{u}{\sqrt{5}}\) и \(u = \cos(x)x\), мы получаем окончательный результат: \[ \frac{3\sqrt{5}}{10} \ln{\frac{\cos(x)x+{\sqrt{5}}}{\cos(x)x-{\sqrt{5}}}} + C \]

Решение второго уравнения

Теперь приступим ко второму уравнению: \[ \int{\frac{3}{9+x^2}}dx \]

Это уравнение представляет собой интеграл от функции, обратной к \(9+x^2\), что приводит нас к использованию обратной тригонометрической функции. В данном случае, для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться заменой переменной \(x = 3\tan(\theta)\) или \(x = 3\sqrt{3}\tan(\theta)\), чтобы свести этот интеграл к интегралу от \(\sec(\theta)\), который легко решается.

После применения соответствующей замены переменной и решения интеграла, мы получаем: \[ \frac{3}{3\sqrt{3}}\arctan{\frac{x}{3}} + C \]

где \(C\) - произвольная постоянная.

Таким образом, мы получили решение обоих уравнений.