Question

РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! На доске записали 11 дробей, составленные из чисел 1,2,...,22. При этом каждые числа использовали ровно один раз (поставили либо в числитель, либо в знаменатель одной из дробей). Какое наибольшее кол-во из этих дробей может оказаться натуральными числами?

Answer 1

Покажем, что 11 целых чисел получиться не может. Каждое из трех чисел 13, 17, 19 может давать целую дробь лишь с числом 1 в знаменателе. Поэтому два из них не будут составлять нужную нам дробь, поэтому всего целых чисел будет не более 10.

Пример с 10 целыми числами: 22/11, 20/10, 18/9, 16/8, 14/7, 12/6, 15/5, 17/1, 21/3, 4/2, 13/19.

Answer 2

На доске записаны 11 дробей, составленные из чисел 1, 2, ..., 22, при этом каждое число использовано ровно один раз либо в числителе, либо в знаменателе одной из дробей. Нам нужно определить, какое наибольшее количество из этих дробей может оказаться натуральными числами.

Для того чтобы максимизировать количество натуральных чисел, мы должны сделать так, чтобы каждая дробь имела числитель и знаменатель, которые делятся нацело друг на друга. Таким образом, мы должны составить дроби, где числитель и знаменатель будут иметь общие делители.

Мы можем заметить, что числа 1, 2, 11, 12, 21 и 22 делятся нацело на 1. Поэтому мы можем составить дроби с этими числами в числителе и знаменателе. Это даст нам 6 дробей, которые могут быть натуральными числами.

Ответ:

Наибольшее количество из этих дробей, которые могут оказаться натуральными числами, равно 6.