Question

Докажите, что прямая 3x−4y+25=0 касается окружности x^2+y^2=25. Найдите сумму координат точки касания.

Answer 1

Задание. Докажите, что прямая 3x−4y+25=0 касается окружности x^2+y^2=25. Найдите сумму координат точки касания.
    Решение:
$x^2+y^2=25$ - уравнение окружности с центром (0;0) и радиусом R=5. А 3х-4у+25=0 - уравнение прямой, проходящая через точки (-3;4), (0;6.25). Точка касания - (-3;4). Сумма координат точки касания равна -3+4 = 1

Ответ: 1.

Answer 2

Для доказательства, что прямая 3x - 4y + 25 = 0 касается окружности x^2 + y^2 = 25, мы можем использовать геометрический подход. Для начала, давайте представим уравнение прямой в виде y = mx + b, где m - это коэффициент наклона прямой, а b - это коэффициент смещения. В нашем случае, прямая 3x - 4y + 25 = 0 может быть записана в виде y = (3/4)x - (25/4).

Теперь рассмотрим уравнение окружности x^2 + y^2 = 25. Мы знаем, что радиус окружности равен sqrt(25) = 5.

Для того чтобы прямая касалась окружности, расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно радиусу окружности. Расстояние между прямой и точкой (x0, y0) можно вычислить с помощью формулы: d = |(mx0 - y0 + b) / sqrt(m^2 + 1)|.

Таким образом, чтобы доказать, что прямая касается окружности, нам нужно найти такую точку (x0, y0), для которой d = 5. Подставив уравнение прямой в формулу для расстояния, мы получаем:

5 = |(3/4)x0 - y0 - (25/4)| / sqrt((3/4)^2 + 1)

Для упрощения вычислений, давайте возвести обе части уравнения в квадрат:

25 = ((3/4)x0 - y0 - (25/4))^2 / (9/16 + 1)

Упростим это уравнение:

25 = 16((3/4)x0 - y0 - (25/4))^2 / 25

Умножим обе части уравнения на 25, чтобы избавиться от дробей:

625 = 16((3/4)x0 - y0 - (25/4))^2

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

25 = 4((3/4)x0 - y0 - (25/4))

Раскроем скобки:

25 = 3x0 - 4y0 - 25

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

3x0 - 4y0 = 25 + 25

3x0 - 4y0 = 50

Итак, мы получили уравнение прямой, которая проходит через точку касания (x0, y0). Теперь найдем сумму координат точки касания.

Из уравнения прямой 3x0 - 4y0 = 50, мы можем выразить x0 через y0:

x0 = (50 + 4y0) / 3

Теперь подставим это значение x0 в уравнение окружности x^2 + y^2 = 25:

((50 + 4y0) / 3)^2 + y0^2 = 25

Раскроем скобки и упростим уравнение:

(2500 + 400y0 + 16y0^2) / 9 + y0^2 = 25

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дробей:

2500 + 400y0 + 16y0^2 + 9y0^2 = 225

Соберем все члены с y0 вместе:

25y0^2 + 400y0 + 2500 - 225 = 0

25y0^2 + 400y0 + 2275 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение для y0 с помощью квадратного корня или других методов решения квадратных уравнений. Вычислив значения y0, мы можем найти соответствующие значения x0 с использованием уравнения прямой x0 = (50 + 4y0) / 3.

Найденные значения x0 и y0 будут координатами точки касания прямой и окружности. Для получения суммы этих координат просто сложите x0 и y0.