Question

Пожалуйста помогите решить задачу: 14 учеников на олимпиаде решили 58 задач. Однако, что среди них есть ученики, решившие 2 задачи,3 задачи, 4 задачи. Докажите, что есть ученики, решившие не менее 5 задач.

Answer 1

Если допустить, что 1 ученик решил 2 задачи, еще 1 - 3 задачи, еще 1 - 4 задачи, то в остальном остается 49 задач на остальных учеников. Допускается, что есть ученики, решившие больше 4 задач

Answer 2

Если 1 ученик решил 2 задачи, а остальные 13 по 4 задачи,
это всего 2 + 13*4 = 2 + 52 = 54 задачи.
А они решили 58. Значит, кто-то решил больше 4 задач.

Answer 3

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле.

Предположим, что среди 14 учеников, решивших 58 задач, нет учеников, решивших не менее 5 задач. Тогда каждый ученик решил не более 4 задач.

Посчитаем, сколько задач максимум могли решить все 14 учеников, если каждый решил не более 4 задач: 14 учеников * 4 задачи/ученик = 56 задач.

Однако, по условию задачи ученики решили 58 задач, что больше, чем максимальное количество задач, которое они могли решить, если каждый решил не более 4 задач. Это противоречие.

Таким образом, наше предположение неверно, и среди 14 учеников, решивших 58 задач, обязательно есть ученики, решившие не менее 5 задач.