Question

Докажите, что функция F(x) =3x +sin^2 3x является первообразной для функции f (x)=6cos^2(П\4-3х)

Answer 1

F`(x)=3+2sin3x*cos3x*3=3+3sin6x

f(x)=6cos²(π/4-3x)=6*(1+cos(π/2-6x)/2=3(1+sin6x)=3+3sin6x
F`(x)=f(x)

Answer 2

Для доказательства того, что функция F(x) = 3x + sin^2(3x) является первообразной для функции f(x) = 6cos^2(π/4 - 3x), мы должны показать, что производная функции F(x) равна функции f(x).

Давайте начнем с вычисления производной функции F(x):

F'(x) = (3x)' + (sin^2(3x))' = 3 + (sin^2(3x))'

Для вычисления производной sin^2(3x), мы можем использовать цепное правило дифференцирования. Цепное правило гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции и производной внутренней функции.

Для функции sin^2(3x), внешняя функция - это возведение в квадрат, а внутренняя функция - это sin(3x). Таким образом, мы можем применить цепное правило следующим образом:

(sin^2(3x))' = (sin(3x))' * (sin(3x))' = 2sin(3x) * (sin(3x))'

Теперь у нас есть выражение для производной функции F(x):

F'(x) = 3 + 2sin(3x) * (sin(3x))'

Осталось только вычислить производную функции f(x) и сравнить ее с F'(x).

f'(x) = (6cos^2(π/4 - 3x))'

Для вычисления производной cos^2(π/4 - 3x), мы также можем использовать цепное правило:

(cos^2(π/4 - 3x))' = (cos(π/4 - 3x))' * (cos(π/4 - 3x))' = -sin(π/4 - 3x) * (cos(π/4 - 3x))'

Теперь мы можем выразить производную функции f(x):

f'(x) = -6sin(π/4 - 3x) * (cos(π/4 - 3x))'

Теперь сравним производные F'(x) и f'(x):

F'(x) = 3 + 2sin(3x) * (sin(3x))' f'(x) = -6sin(π/4 - 3x) * (cos(π/4 - 3x))'

Мы видим, что F'(x) и f'(x) имеют разные выражения, поэтому функция F(x) = 3x + sin^2(3x) не является первообразной для функции f(x) = 6cos^2(π/4 - 3x).

Поэтому мы не можем доказать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), основываясь на предоставленных функциях.