Question

Объем конуса равен 250. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 3:2, считая от вершины, параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Answer 1

Объём большого конуса  V1=π*R²*H/3, где R и H - радиус основания и высота конуса, объём малого конуса V2=π*r²*h/3, где r и h - радиус основания  и высота конуса. По условию, h/(H-h)=3/2, откуда h=3/5*H. Так как образующие обоих конусов лежат на одной прямой, то H/R=h/r=tg α, где α - угол наклона образующей конуса к плоскости основания. Отсюда r=h*R/H=R*3/5. Тогда V2=π*(3/5)²*R²*(3/5)*H/3=27/125*π*R²*H/3=27/125*V1=27/125*250=54. Ответ: 54.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать подобие конусов и пропорции. Давайте разберемся подробнее.

Нахождение объема меньшего конуса через подобие конусов

Дано: - Объем большего конуса: V1 = 250 - Высота большего конуса: H1 - Высота меньшего конуса: H2 (так как меньший конус параллелен большему, его высота также будет в отношении 3:2)

Мы знаем, что объем конуса пропорционален кубу его высоты, поэтому можем записать:

(V2 / V1) = (H2 / H1)^3

Где V2 - объем меньшего конуса, который мы хотим найти.

Определение отношения высот

По условию задачи, точка делит высоту в отношении 3:2, считая от вершины. Обозначим: - Общая высота конуса: H - Высота до точки, делящей в отношении 3:2: 3x - Высота после этой точки: 2x

Тогда: - H1 = 3x - H - H1 = H2 = 2x

Нахождение объема меньшего конуса

Теперь мы можем подставить значения высот в формулу для отношения объемов:

(V2 / V1) = (H2 / H1)^3 (V2 / 250) = ((2x) / (3x))^3 (V2 / 250) = (2/3)^3 (V2 / 250) = 8/27

Теперь найдем объем меньшего конуса, подставив известное значение объема большего конуса:

V2 = (8/27) * 250 V2 = 74.07

Ответ

Таким образом, объем меньшего конуса составляет примерно 74.07 (округлено до двух десятичных знаков).