Question

125^x - 25^x + (4*25^x - 20)/(5^x - 5) <=4

Answer 1

Решал уже подобную задачу.
Замена 5^x = y > 0 при любом х, тогда 125^x = y^3, 25^x = y^2
y^3 - y^2 + (4y^2 - 20)/(y - 5) <= 4
y^3 - y^2 - 4 + (4y^2 - 20)/(y - 5) <= 0
((y^3 - y^2 - 4)(y - 5) + 4y^2 - 20)/(y - 5) <= 0
(y^4 - y^3 - 4y - 5y^3 + 5y^2 + 20 + 4y^2 - 20)/(y - 5) <= 0
(y^4 - 6y^3 + 9y^2 - 4y)/(y - 5) <= 0
y(y^3 - 6y^2 + 9y - 4)/(y - 5) <= 0
y > 0 при любом х, поэтому на него можно разделить
(y^3 - 4y^2 - 2y^2 + 8y + y - 4)/(y - 5) <= 0
(y - 4)(y^2 - 2y + 1)/(y - 5) <= 0
(y - 4)(y - 1)^2/(y - 5) <= 0
y = 5^x = 1; x = 0 - это решение.
При всех остальных y > 0 будет (y - 1)^2 > 0, на него можно разделить.
(y - 4)/(y - 5) <= 0
По методу интервалов
y = 5^x Є [4; 5)
x Є [log_5 (4); 1)
Но еще есть решение x = 0
Ответ: x Є {0} U [log_5 (4); 1)

Answer 2

Для начала, давайте заметим, что данное неравенство содержит две переменные - x и y. Для упрощения задачи, давайте заменим одну из переменных, например, y = 25^x. Тогда неравенство примет вид:

125^x - 25^x + (4*25^x - 20)/(5^x - 5) ≤ 4

Теперь давайте разберемся с каждым слагаемым по отдельности.

Первое слагаемое: 125^x - 25^x. Заметим, что 125 = 5^3, а 25 = 5^2. Поэтому мы можем записать это слагаемое как (5^3)^x - (5^2)^x = 5^(3x) - 5^(2x).

Второе слагаемое: (4*25^x - 20)/(5^x - 5). Заметим, что 4 = 2^2, а 25 = 5^2. Поэтому мы можем записать это слагаемое как (2^2 * 5^x - 20)/(5^x - 5). Далее мы можем разложить числитель на множители, чтобы упростить выражение:

(2^2 * 5^x - 20) = 4 * 5^x - 20 = 4 * (5^x - 5)

Теперь мы можем заменить второе слагаемое в исходном неравенстве:

(4 * (5^x - 5))/(5^x - 5) = 4

Таким образом, исходное неравенство примет вид:

5^(3x) - 5^(2x) + 4 ≤ 4

Теперь давайте упростим это неравенство:

5^(3x) - 5^(2x) ≤ 0

Мы можем заметить, что 5^(3x) всегда будет больше или равно 5^(2x) для любого значения x, так как 3x > 2x. Поэтому это неравенство будет выполняться только при условии, что оба слагаемых равны нулю:

5^(3x) - 5^(2x) = 0

Теперь давайте решим это уравнение:

5^(2x)(5^x - 1) = 0

Это уравнение имеет два решения: 5^x = 0 и 5^x - 1 = 0.

Однако, 5^x не может быть равно нулю, так как 5 в любой степени будет всегда положительным числом. Поэтому мы рассматриваем только второе решение:

5^x - 1 = 0

5^x = 1

Теперь мы можем найти значение x, решив это уравнение:

x = log_5(1)

Так как логарифм от 1 по любому основанию равен нулю, то x = 0.

Таким образом, решение исходного неравенства 125^x - 25^x + (4*25^x - 20)/(5^x - 5) ≤ 4 при условии x = 0.