Question

На окружности расположено 2016 чисел, сумма которых неотрицательна.Докажите, что для любого натурального n<=2016, найдутся n стоящих подряд чисел, сумма которых также неотрицательна.

Answer 1

Рассмотрим 2016 последовательностей из n подряд идущих чисел на окружности:
1) a1+a2+..+a_n
2) a2+a3+...+a_(n+1)
...
n) a2016+a1+...+a_(n-1)
Просуммируем их: каждое из чисел содержится ровно в n пунктах, поэтому (a1+a2+..+a_n)+(a2+a3+...+a_(n+1))+...+(a2016+a1+...+a_(n-1)) = n*(a1+a2+...+a2016) >=0. Видим, что сумма этих слагаемых неотрицательна, так как по условию сумма чисел на окружности неотрицательна. Это значит, что хотя бы одно из слагаемых неотрицательно, иначе сумма была бы отрицательной, что привело бы к противоречию.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом противоположного предположения.

Предположим, что для некоторого натурального n ≤ 2016 не существует n стоящих подряд чисел, сумма которых неотрицательна. Тогда сумма любых n стоящих подряд чисел будет отрицательна.

Рассмотрим такую ситуацию на окружности, где числа расположены по порядку. Пусть на окружности есть отрезок, на котором сумма чисел отрицательна. Обозначим этот отрезок как A.

Так как сумма чисел на отрезке A отрицательна, то сумма чисел на оставшейся части окружности, которую мы обозначим как B, будет положительной. То есть, сумма чисел на отрезке B > 0.

Рассмотрим круговую сумму чисел на отрезке B. Круговая сумма чисел на отрезке B равна сумме чисел на отрезке B плюс сумма чисел на отрезке A. Так как сумма чисел на отрезке A отрицательна, то круговая сумма чисел на отрезке B будет больше суммы чисел на отрезке B.

Но сумма чисел на отрезке B уже положительна, поэтому круговая сумма чисел на отрезке B будет больше, чем положительная сумма чисел на отрезке B. Это противоречит условию задачи, так как по условию сумма чисел на окружности должна быть неотрицательной.

Таким образом, наше предположение о том, что для некоторого н ≤ 2016 не существует n стоящих подряд чисел, сумма которых неотрицательна, является неверным. Значит, для любого натурального n ≤ 2016 найдутся n стоящих подряд чисел, сумма которых также неотрицательна.