Question

Помогите пожалуйста решить Вероятность рождения мальчика равной 0,5,найти вероятность того,что среди 200новорожденных будет:а)100мальчиков,б)от90 до110.

Answer 1

Задача на схему Бернулли по теории вероятности.
Вероятность рождения мальчика p=0,5 тогда вероятность рождения девочки (ну в общем не мальчика) q=1-p=0,5.
Вероятность того,  что в серии из n испытаний событие выпадающее в результате одного опыта с вероятностью p, выпадет ровноm раз равна
$P(m,n)= C^{m}_{n}*p^m*n^{n-m}= \frac{n!}{m!(n-m)!} *p^m*n^{n-m}$ (1)
В нашем случае вероятность рождения 100 мальчиков из 200 случаев равна:
$P(m,n)= C^{100}_{200}*0,5^{100}*0,5^{100}= \frac{200!}{100!*100!} *0,5^{100}*0,5^{100}$
Черт! хотел слету, а тут Страшные цифры, и считать их жутко. Что смутно помнится была какая-то формула, которая при больших n и m позволяла находить значение (1) приближенно.
Ладно, это потом теперь по пункту б)
Тут, чтобы найти вероятность того, что число новорожденных мальчиков будет от 90 до 110 надо просуммировать вероятности
$P(90,200)+P(91,200)+...+P(110,200)$

Тоже в цифрах не сладко, ладно попробую покопать, Если ответ редактировать запретят, попробую протолкнуть хотя бы идею и результат в комментариях.
Да есть такая формула например формула Муавра-Лапласа

согласно ей наше выражение (1) можно приближенно посчитать так
$P_{n}(m)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi npq}} e^{- \frac{x_{m}^2}{2} }$(2)
где :
$x_m= \frac{m-np}{ \sqrt{npq}}$(3)
Для случая a)
$x_{100}= \frac{100-200*0,5}{ \sqrt{200*0,5*0,5}}=0$
$P_{n}(m)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi npq}}=\frac{1}{ \sqrt{2 \pi 200*0,5*0,5}}=\frac{1}{ \sqrt{100 \pi }}$≈0,056
Для пункта б) можно загнать например формулы (2) в (3) в электронную таблицу, и там
посчитать все нужные вероятности, и их сумму. Кроме того, я так подозреваю, что поскольку p=q, то распределение вероятностей будет симметричным относительно m=100. А так тут долго считать и вбивать результаты

А так искомая вероятность  для пункта б) будет≈0,31
P.S. Оригинальная таблица была Libre Office c расширением .ods

Answer 2

A) вместо формулы Бернулли при больших значениях n и N применяют формулу Лапласа
Р$_n(k)= \frac{1}{ \sqrt{npq} }$φ(x)
x=$\frac{k-np}{ \sqrt{npq} }$
φ(x) по таблице значений фунции Лапласа
n=200 p=0.5 q=0.5
x=$\frac{100-200*0.5}{ \sqrt{200*0.5*0.5} }= 0$
φ(0)=0,3989
 Р$_{200}(100)= \frac{1}{ \sqrt{200*0.5*0.5} }*0,3989$=0.056
б)  применяем интегральную теорему Лапласа
Р(90<X<110)=Ф($\frac{110-200*0,5}{ \sqrt{200*0,5*0,5} }$)-Ф($\frac{90-200*0,5}{ \sqrt{200*0,5*0,5} }$)=Ф(1,41)-Ф(-1,41)=Ф(1,41)+Ф(1,41)=2Ф(1,41)=2*0,4192=0,8384

Answer 3

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть только два исхода - рождение мальчика или девочки, и вероятность каждого из этих исходов равна 0,5.

Вероятность рождения мальчика

Первым шагом найдем вероятность того, что среди 200 новорожденных будет определенное количество мальчиков.

Формула биномиального распределения

Формула для расчета вероятности биномиального распределения выглядит следующим образом: \[ P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где: - \( n \) - общее количество испытаний, - \( k \) - количество "успехов" (в данном случае - рождение мальчика), - \( p \) - вероятность "успеха".

Решение

а) Для 100 мальчиков: \[ P(X=100) = \binom{200}{100} \cdot 0.5^{100} \cdot 0.5^{100} \]

Это можно вычислить с помощью программного кода:

# Импорт библиотеки для вычисления биномиального коэффициента
from math import comb

# Вычисление вероятности
n = 200
k = 100
p = 0.5
probability_100_boys = comb(n, k) * (p  k) * ((1 - p)  (n - k))
probability_100_boys

б) Для от 90 до 110 мальчиков: Мы можем просто сложить вероятности для 90, 91, ..., 110 мальчиков и получить ответ.

# Вычисление вероятности для от 90 до 110 мальчиков
probability_between_90_110_boys = sum(
    [comb(n, k) * (p  k) * ((1 - p)  (n - k)) for k in range(90, 111)]
)
probability_between_90_110_boys

После выполнения вычислений, мы получим вероятности для каждого случая.