Question

Дам много баллов Запишите полное обоснованное решение задачи и ответ. Дано уравнение: (p+4)x^2-3x+p=0 a) Найдите наименьшее целое значение параметра р, при котором уравнение имеет корни разных знаков б) Найдите длину промежутка, в который должен попасть параметр р, чтобы уравнение имело хотя бы 1 корень в) Найдите сумму всех значений р, при которых уравнение имеет ровно 1 корень

Answer 1

Запишем решение уравнения через дискриминант:
Д=9-4(р+4)р
√Д=√(9-4(р+4)р)
х1,2=(3+-√Д)/2(р+4), отсюда ⇒ р+4≠0 ⇒ р≠-4 Пока тут все, теперь возвращаемся к дискриминанту: Д=9-4(р+4)р
Для того, что бы уравнение имело два! решения нужно что бы дискриминант был >0, решим его:
9-4(р+4)р>0
9-4р²-16р>0
решаем методом интервалов:
-4р²-16р+9=0
Д=256+144=400
√Д=20
р1=(16-20)/(-8)=0,5
р2=(16+20)/(-8)=-4,5
Определяем значение функции на интервалах:
-∞;-4,5  -  отрицательна
-4,5;0,5  -  положительна
0,5;∞  -  отрицательна
тогда ответ: [-4,5;0,5], НО!!! у нас есть р≠-4, тогда
[-4,5;-4)∪(-4;0,5]
Теперь отвечаем на вопросы:
а. наименьшее целое: -3
б. промежуток [-4,5;-4)∪(-4;0,5]
в. имеет один корень когда Д=0, а это наши корни: р1=0,5 и р2=-4,5, а их сумма = -4.

Answer 2

Решение задачи:

Дано уравнение: $(p+4)x^2 - 3x + p = 0$

а) Найдите наименьшее целое значение параметра $p$, при котором уравнение имеет корни разных знаков.

Для того чтобы уравнение имело корни разных знаков, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был положительным $(D > 0)$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты уравнения.

В нашем случае, $a = p + 4$, $b = -3$ и $c = p$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$D = (-3)^2 - 4(p + 4)(p) = 9 - 4p^2 - 16p = -4p^2 - 16p + 9$

Для того чтобы найти наименьшее целое значение параметра $p$, при котором уравнение имеет корни разных знаков, необходимо решить неравенство $D > 0$:

$-4p^2 - 16p + 9 > 0$

Для удобства решения неравенства, перенесем все слагаемые в одну сторону:

$-4p^2 - 16p + 9 + 0$

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

Answer 3

Изначально у нас есть квадратное уравнение вида: (p + 4)x^2 - 3x + p = 0

а) Чтобы уравнение имело корни разных знаков, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был положительным. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b, c - коэффициенты уравнения. В нашем случае a = (p + 4), b = -3, c = p. Подставим значения в формулу дискриминанта и приравняем его к нулю:

D = (-3)^2 - 4(p + 4)(p) > 0 9 - 4p^2 - 16p > 0 -4p^2 - 16p + 9 > 0

Чтобы решить это неравенство, найдем его корни. Для этого сначала решим уравнение -4p^2 - 16p + 9 = 0:

D = (-16)^2 - 4(-4)(9) = 256 + 144 = 400 p1 = (-(-16) + sqrt(400))/(-8) = (16 + 20)/(-8) = -36/(-8) = 9/2 p2 = (-(-16) - sqrt(400))/(-8) = (16 - 20)/(-8) = -4/(-8) = 1/2

Таким образом, получаем два корня уравнения: p1 = 9/2 и p2 = 1/2. Ответом будет наименьшее целое значение параметра p, то есть p = 1/2.

б) Чтобы уравнение имело хотя бы 1 корень, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был не