Question

Дана прямоугольная призма ABCDA1B1C1D1. Длина сторон основания равна 1, а боковых ребер 3. На ребре AA1 точка E, причем AE относиться к EA1 как 2:1. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.

Answer 1

Построим сечение призмы плоскостью АС1В. получим параллелограмм АВС1D1. Из точки D проведём перпендикуляр DH на прямую АВ. Плоский угол DHD1- искомый DH =AD*синус60 =2корень3. Следовательно тангенс угла DHD1=DD1/HD= 5/2корень3=(5корень3)/6

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится знание о том, что угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями.

Построим данную призму и обозначим точки:

A, B, C, D - вершины основания ABCD A1, B1, C1, D1 - вершины основания A1B1C1D1 E - точка на ребре AA1

Так как длина сторон основания ABCD равна 1, то можно сделать вывод, что AB = BC = CD = DA = 1. Также известно, что боковые ребра равны 3, то есть AE = EA1 = A1B1 = B1C1 = C1D1 = D1E = 3.

Построим векторы AB, BC, AE и EA1.

Вектор AB: AB = B - A = (1, 0, 0) Вектор BC: BC = C - B = (0, 1, 0) Вектор AE: AE = E - A = (x, y, z) Вектор EA1: EA1 = A1 - E = (3, 0, 0)

Так как AE относится к EA1 как 2:1, то можно записать:

AE = (2/3) * EA1 = (2/3) * (3, 0, 0) = (2, 0, 0)

Теперь найдем векторное произведение AB и BC, а также AE и EA1.

AB x BC = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0, 0, 1) AE x EA1 = (2, 0, 0) x (3, 0, 0) = (0, 0, 0)

Векторное произведение AE и EA1 равно нулевому вектору, что означает, что они параллельны.

Угол между векторами AB и BC можно найти с помощью скалярного произведения:

cosθ = (AB · BC) / (|AB| * |BC|)

где θ - угол между векторами AB и BC, · - скалярное произведение, |AB| и |BC| - длины векторов AB и BC соответственно.

AB · BC = (1, 0, 0) · (0, 1, 0) = 0 |AB| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = √1 = 1 |BC| = √(0^2 + 1^2 + 0^2) = √1 = 1

cosθ = 0 / (1 * 1) = 0

Так как cosθ = 0, то угол между плоскостями ABC и BED1 равен 90 градусов.