Question

К 17-значному числу прибавили число,записанное теми же цифрами , но в обратном порядке.Докажите , что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.

Answer 1

Пусть при сложении не происходило переносов. Найдется разряд, в котором складывались цифры одной четности (иначе четных и нечетных цифр должно быть поровну,что невозможно в 17-значном числе). Цифра суммы в этом разряде будет четной.Пусть переносы были. Тогда наличие переноса при движении справа налево или слева направо чередуется с отсутствием переноса. К первому разряду единичка прибавиться не может, значит переносы будут только на четные разряды. В результате мы получим, что цифра суммы в девятом разряде обязательно четна, как сумма двух одинаковых цифр.

Answer 2

Я могу помочь тебе с решением этой задачи.

Пусть 17-значное число имеет вид $$a_1a_2...a_{17}$$, где $$a_i$$ - это цифры от 0 до 9. Тогда число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, имеет вид $$a_{17}a_{16}...a_1$$. Сложим эти два числа:

$$a_1a_2...a_{17} + a_{17}a_{16}...a_1 = b_1b_2...b_{18}$$

где $$b_i$$ - это цифры суммы. Заметим, что $$b_1 = a_1 + a_{17}$$, $$b_2 = a_2 + a_{16}$$ и так далее. Таким образом, каждая цифра суммы равна сумме двух цифр исходного числа, возможно с переносом единицы.

Докажем, что хотя бы одна цифра суммы чётна. Для этого рассмотрим два случая:

- Если исходное число содержит хотя бы одну чётную цифру, то пусть $$a_k$$ - это такая цифра. Тогда $$b_k = a_k + a_{18-k}$$ - это тоже чётная цифра, так как сумма двух чётных или двух нечётных чисел чётна. Значит, мы нашли чётную цифру в сумме. - Если исходное число состоит только из нечётных цифр, то рассмотрим цифру $$b_9 = a_9 + a_9$$. Эта цифра равна удвоенному значению цифры $$a_9$$, которая нечётна. Значит, $$b_9$$ - это чётная цифра, и мы нашли чётную цифру в сумме.

В обоих случаях мы доказали, что хотя бы одна цифра суммы чётна. Надеюсь, это помогло тебе понять решение.