Question

1.Диагонали равнобокой трапеции ABCD пересекаются под прямым углом. BH – высота к большему основанию CD, EF – средняя линия трапеции. а) Докажите, что BH = DH; б) Найдите площадь трапеции, если EF = 5. 2.В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1. Точка E – середина ребра AC. а) Постройте сечение призмы плоскостью A1B1E; б) Найдите площадь этого сечения.

Answer 1

1.а. Пусть О -точка пересечения диагоналей. ΔACD=ΔВCD =>угол ACD = углу CDB, Это два острых угла в прямоугольном ΔОCD => каждый из них 45º. угол CDB = углу DBA =45º..Так как угол АBH=90º, угол DBH=90º -45º=45º. T.o. в прямоугольном ΔBHD  два острых угла 45º, т.е. ΔBHD равнобедренный, т.е. BH = DH
1.b. BD=AC=BH√2
P=BD*AC/2=BH².
P=EF*BH
=>BH²= EF*BH => BH=EF => P=EF²=25

2b. A1E=√(1+0.5²)=(√5)/2.Пусть H -точка пересечениявысоты проведенной из Е с A1B1.
EH=√(A1E²-0.25²=√(5/4-1/16)=(√19)/4
P=EH*(1+0.5)/2=(√19)/4*3/2*1/2=3(√19)/16

Answer 2

Задача 1: Доказательство равенства BH = DH

В данной задаче у нас есть равнобокая трапеция ABCD, в которой диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом. Также дано, что BH - высота к большему основанию CD, а EF - средняя линия трапеции.

Чтобы доказать, что BH = DH, нам понадобится использовать свойства равнобедренной трапеции.

Шаг 1: Докажем, что треугольники BHE и DHE равны по двум сторонам и углу.

У нас есть следующие равенства: 1. Сторона BH равна стороне DH (по условию задачи). 2. Сторона BE равна стороне DE (так как EF - средняя линия трапеции). 3. Угол BHE равен углу DHE (так как диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом).

Таким образом, треугольники BHE и DHE равны по двум сторонам и углу, что, согласно свойствам равнобедренной трапеции, означает, что стороны HE и HE равны.

Шаг 2: Докажем, что треугольники AHB и DHE равны по двум сторонам и углу.

У нас есть следующие равенства: 1. Сторона AH равна стороне DH (так как треугольники BHE и DHE равны по двум сторонам и углу). 2. Сторона AB равна стороне DE (так как AB и DE - основания равнобедренной трапеции). 3. Угол AHB равен углу DHE (так как диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом).

Таким образом, треугольники AHB и DHE равны по двум сторонам и углу, что, согласно свойствам равнобедренной трапеции, означает, что стороны AH и DH равны.

Шаг 3: Из равенства сторон AH и DH следует, что BH = DH.

Таким образом, доказано, что BH = DH.

Задача 2: Нахождение площади сечения треугольной призмы

В данной задаче у нас есть правильная треугольная призма ABCA1B1C1, в которой все ребра равны 1. Точка E - середина ребра AC.

а) Построение сечения призмы плоскостью A1B1E

Чтобы построить сечение призмы плоскостью A1B1E, мы должны просто провести плоскость A1B1E, перпендикулярную основанию ABCA1B1C1.

б) Нахождение площади сечения

Площадь сечения можно найти, используя формулу площади треугольника, так как сечение представляет собой треугольник.

У нас есть следующие данные: - Все ребра призмы равны 1. - Точка E - середина ребра AC.

Так как ABCA1B1C1 - правильная треугольная призма, длина каждого ребра треугольника ABC равна 1.

Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу площади треугольника:

Площадь = (основание * высота) / 2

В данном случае, основание треугольника равно 1 (длина ребра), а высота будет равна расстоянию от точки E до основания ABC.

Так как точка E - середина ребра AC, расстояние от точки E до основания ABC будет равно половине высоты треугольника ABC.

Таким образом, площадь сечения будет равна:

Площадь сечения = (1 * 0.5) / 2 = 0.25

Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью A1B1E равна 0.25.