Question

Записать разложение бинома (х+1)^6

Answer 1

(х+1)^6=120х^6+144х^5+90х^4+80х^3+90х^2+144х+120

Answer 2

Разложение бинома (x + 1)^6

Разложение бинома (x + 1)^6 можно получить с помощью биномиальной теоремы или треугольника Паскаля. Я могу продемонстрировать оба подхода, начнем с биномиальной теоремы.

Использование биномиальной теоремы

Биномиальная теорема утверждает, что разложение бинома (x + y)^n можно представить в виде суммы биномиальных коэффициентов, умноженных на степени x и y. Для разложения (x + 1)^6 мы можем использовать эту формулу.

Биномиальный коэффициент (читается "шестый по счету, по k") для разложения (x + 1)^6 имеет вид: C(6, k) = 6! / (k!(6 - k)!)

Теперь мы можем записать разложение (x + 1)^6: (x + 1)^6 = C(6, 0)x^6 + C(6, 1)x^5 + C(6, 2)x^4 + C(6, 3)x^3 + C(6, 4)x^2 + C(6, 5)x + C(6, 6)

Вычислим биномиальные коэффициенты C(6, k): C(6, 0) = 6! / (0!(6 - 0)!) = 1 C(6, 1) = 6! / (1!(6 - 1)!) = 6 C(6, 2) = 6! / (2!(6 - 2)!) = 15 C(6, 3) = 6! / (3!(6 - 3)!) = 20 C(6, 4) = 6! / (4!(6 - 4)!) = 15 C(6, 5) = 6! / (5!(6 - 5)!) = 6 C(6, 6) = 6! / (6!(6 - 6)!) = 1

Теперь мы можем записать полное разложение: (x + 1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1

Использование треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля представляет собой таблицу биномиальных коэффициентов, которые можно использовать для вычисления разложений биномов. Для разложения (x + 1)^6 мы можем использовать шестую строку треугольника Паскаля.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Теперь мы можем записать разложение (x + 1)^6, используя коэффициенты из шестой строки треугольника Паскаля: (x + 1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1

Оба метода приводят к одному и тому же результату, и разложение (x + 1)^6 представлено выше.