Question

Решите неравенство log 5(x+5)+log5(x+1)>1

Answer 1

Log₅(x+5)+log₅(x+1)>1
log₅((x+5)(x+1))>log₅5
если logₐ(f(x))>logₐ(g(x)) и  a>0 это равносильно системе
$\left \{ {{f(x)\ \textgreater \ g(x)} \atop {g(x)\ \textgreater \ 0}} \right.$
у нас a=5>0  g(x)=5>0 условие ОДЗ ВЫПОЛНЯЕТСЯ
(х+5)(х+1)>5  
x²+6x+5>5
x²+6x>0
x(x+6)>0
по методу интервалов х⊆(-∞,-6)∪(0,+∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать свойства логарифмов.

Начнем с того, что логарифм суммы двух чисел равен сумме логарифмов этих чисел. Также, логарифм числа, возведенного в степень, равен произведению этой степени и логарифма числа. Используя эти свойства, мы можем преобразовать данное неравенство.

Имеем: log5(x+5) + log5(x+1) > 1

Применим свойство суммы логарифмов: log5((x+5)(x+1)) > 1

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, мы можем применить обратную функцию - возведение в степень. В данном случае, мы возведем обе части неравенства в основание логарифма, которое равно 5:

(x+5)(x+1) > 5^1

(x+5)(x+1) > 5

Теперь нам нужно решить получившуюся квадратную неравенство. Для этого, раскроем скобки:

x^2 + 6x + 5 > 5

x^2 + 6x > 0

Теперь неравенство можно решить двумя способами: методом интервалов или методом знаков.

Метод интервалов:

1. Найдем точки, где левая часть равна 0: x^2 + 6x = 0 Получаем два значения: x = 0 и x = -6. 2. Построим интервалы и проверим знаки внутри каждого интервала. a) (-∞, -6): Подставим x = -7 (любое значение из интервала) в неравенство: (-7)^2 + 6(-7) = 49 - 42 = 7 > 0. Знак положительный. b) (-6, 0): Подставим x = -5 (любое значение из интервала) в неравенство: (-5)^2 + 6(-5) = 25 - 30 = -5 < 0. Знак отрицательный. c) (0, +∞): Подставим x = 1 (любое значение из интервала) в неравенство: 1^2 + 6(1) = 1 + 6 = 7 > 0. Знак положительный. 3. Из анализа знаков получаем, что неравенство выполняется на интервалах (-∞, -6) и (0, +∞).

Метод знаков:

1. Решим уравнение x^2 + 6x = 0. Получаем два значения: x = 0 и x = -6. 2. Поставим знаки "+" и "-" на оси чисел в соответствии с полученными значениями. a) (-∞, -6): Знак "+" (положительный). b) (-6, 0): Знак "-" (отрицательный). c) (0, +∞): Знак "+" (положительный). 3. Из анализа знаков получаем, что неравенство выполняется на интервалах (-∞, -6) и (0, +∞).

Таким образом, решением данного неравенства являются интервалы (-∞, -6) и (0, +∞).