Question

Найти точки экстремума функции (мин ,макс) f(x)=2x^3-1/2x^4

Answer 1

Решение прикреплено файлом!

Answer 2

Найдем производную
$(2x^3- \frac{1}{2}x^4)'=6x^2-2x^3=2(3x^2-x^3)=2(3-x)x^2$
производная равна нулю при $x_1=0 \\ x_2=3$
максимальное значение производной при $x=2$

   -         +           -          -
------ 0 --------- 2 ------- 3 ------------ 

Answer 3

Поиск точек экстремума функции

Для поиска точек экстремума функции f(x) = 2x^3 - 1/2x^4, мы должны найти значения x, где производная функции равна нулю или не существует. Эти значения x будут соответствовать максимумам или минимумам функции.

Давайте начнем с вычисления производной функции f(x). Производная функции позволяет нам определить скорость изменения функции в каждой точке.

Вычисление производной функции f(x)

Для вычисления производной функции f(x) = 2x^3 - 1/2x^4, мы применим правило дифференцирования степенной функции и обозначим производную как f'(x):

f'(x) = d/dx (2x^3 - 1/2x^4)

Применяя правило дифференцирования степенной функции, мы получаем:

f'(x) = 6x^2 - 2x^3

Нахождение критических точек

Для нахождения точек экстремума, мы должны решить уравнение f'(x) = 0. Если производная равна нулю в некоторой точке, то это может быть точкой экстремума.

Итак, решим уравнение 6x^2 - 2x^3 = 0:

6x^2 - 2x^3 = 0

Факторизуем это уравнение:

2x^2(3 - x) = 0

Теперь, чтобы найти значения x, где производная равна нулю, мы должны решить каждый множитель равенства отдельно:

2x^2 = 0 => x = 0

3 - x = 0 => x = 3

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 3.

Определение типа точек экстремума

Чтобы определить тип точек экстремума, мы должны проанализировать вторую производную функции f(x) в каждой критической точке.

Вычислим вторую производную функции:

f''(x) = d^2/dx^2 (2x^3 - 1/2x^4)

Применяя правило дифференцирования степенной функции второй раз, мы получаем:

f''(x) = 12x - 6x^2

Анализ второй производной

Теперь, чтобы определить тип точек экстремума, мы должны подставить значения x = 0 и x = 3 во вторую производную f''(x).

Для x = 0:

f''(0) = 12(0) - 6(0)^2 = 0

Для x = 3:

f''(3) = 12(3) - 6(3)^2 = 18

Определение типов точек экстремума

На основе анализа второй производной, мы можем определить тип каждой точки экстремума:

1. При x = 0, вторая производная равна 0. Это означает, что в точке x = 0 может быть точка экстремума, но мы должны провести дополнительный анализ, чтобы определить ее тип.

2. При x = 3, вторая производная равна 18. Это положительное значение означает, что в точке x = 3 функция имеет локальный минимум.

Итоговый ответ

Таким образом, у функции f(x) = 2x^3 - 1/2x^4 есть две точки экстремума:

1. Точка экстремума x = 0, тип которой требует дополнительного анализа. 2. Точка экстремума x = 3, которая является локальным минимумом функции.