Question

Найти площадь фигуры ограниченной графиками функций y=4x-x^2 , y=4-x

Answer 1

Площадь фигуры, ограниченной графиками это определённый интеграл. Для нахождения пределов интегрирования необходимо построить чертёж или решить уравнение (но лучше сделать чертёж):
4x-x²=4-x
-x²+4x+x-4=0
-x²+5x-4=0
D=5²-4*(-1)*(-4)=25-16=9
x=(-5-3)/-2=4        x=(-5+3)/-2=1
Нашли нижний х=1 и верхний х=4 пределы.
На отрезке [1;4] график функции y=4x-x² лежит выше графика функции y=4-x, поэтому площадь фигуры
$S= \int\limits^4_1 {((4x-x^2)-(4-x))} \, dx= \int\limits^4_1 {(-x^2+5x-4)} \, dx =$
$=- \frac{x^3}{3}+ \frac{5x^2}{2}-4x|_1^4=- \frac{4^3}{3}+ \frac{5*4^2}{2}-4*4-(- \frac{1}{3}+ \frac{5*1}{2}-4*1)=$
$= \frac{64}{3}+ \frac{80}{2}-16+ \frac{1}{3}- \frac{5}{2}+4= 7- \frac{5}{2} =4,5$ ед²

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = 4x - x^2 и y = 4 - x, нам понадобится найти точки пересечения этих двух функций. Затем мы можем использовать интегралы для нахождения площади между этими двумя графиками.

Нахождение точек пересечения

Для начала найдем точки пересечения графиков функций y = 4x - x^2 и y = 4 - x. Для этого приравняем их и решим полученное уравнение:

4x - x^2 = 4 - x

Перенесем все члены в одну сторону:

x^2 - 5x + 4 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или формулы дискриминанта. Факторизуя его, получим:

(x - 4)(x - 1) = 0

Отсюда следует, что x = 4 или x = 1. Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (4, 0) и (1, 3).

Нахождение площади

Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем использовать интегралы для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций.

Поскольку функция y = 4x - x^2 находится выше функции y = 4 - x в интервале от x = 1 до x = 4, мы можем выразить площадь этой фигуры следующим образом:

Площадь = ∫[1, 4] (4x - x^2 - (4 - x)) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = ∫[1, 4] (5x - x^2 - 4) dx

Выполним интегрирование по каждому слагаемому:

Площадь = [ (5/2)x^2 - (1/3)x^3 - 4x ] [1, 4]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

Площадь = [(5/2)(4)^2 - (1/3)(4)^3 - 4(4)] - [(5/2)(1)^2 - (1/3)(1)^3 - 4(1)]

Площадь = (40/2 - 64/3 - 16) - (5/2 - 1/3 - 4)

Площадь = 20 - 64/3 - 16 - 5/2 + 1/3 + 4

Площадь = -48/3 - 4/2 - 1/2 + 1/3 + 4

Площадь = -16 - 2 - 1/2 + 1/3 + 4

Площадь = -16 - 2 - 1/2 + 1/3 + 4

Площадь = -31/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 4x - x^2 и y = 4 - x, равна -31/6. Обратите внимание, что площадь может быть отрицательной, если функции пересекаются в определенном порядке и график одной функции находится ниже графика другой функции в некоторых областях.