Question

Помогите пожалуйста вычислить (1-i)в 20 степени

Answer 1

Переводим число в тригонометрический вид:
$x+yi=r(cos\varphi +isin\varphi )$, где $r= \sqrt{x^2+y^2}$
и пользуемся формулой:
$[r(cos\varphi +isin\varphi )]^n=r^n[cos(n \varphi) +isin(n \varphi)]$

Для комплексного числа x+yi, x-действительная часть (на комплексной плоскости по оси Х), у - мнимая часть (по оси У)

в нашем случае (1-i)
на единицу по оси Х (вправо) и на -1 по оси У (вниз), получается, что эта точка находится в четвертой четверти

для четвертой четверти:
$\varphi =2 \pi -arctg |\frac{y}{x}|$

$\varphi =2 \pi -arctg| \frac{-1}{1} |=2 \pi -arctg1=2 \pi - \frac{ \pi }{4} = \frac{7 \pi }{4} \\ \\ r= \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$
 
$(1-i)^{20}= [\sqrt{2} (cos\frac{7 \pi }{4}+isin\frac{7 \pi }{4})]^{20}=\sqrt{2} ^{20}[cos(20*\frac{7 \pi }{4})+isin(20*\frac{7 \pi }{4})] \\ \\ =2^{10}(cos35 \pi +isin35 \pi )=1024(cos35 \pi +isin35 \pi ) \\ \\ OTBET: \ 1024(cos35 \pi +isin35 \pi )$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам вычислить выражение (1 - i) в 20-й степени. Давайте разберемся пошагово.

(1 - i) возводится в 20-ю степень означает, что мы должны умножить (1 - i) само на себя 20 раз.

Представим (1 - i) как комплексное число a + bi, где a и b - действительные числа. Тогда у нас есть:

a = 1 b = -1

Теперь мы можем возвести a + bi в 20-ю степень, используя формулу для возведения комплексного числа в степень:

(a + bi)^n = (a^n)(C(n,0))(b^0) + (a^(n-1))(C(n,1))(b^1) + ... + (a^0)(C(n,n))(b^n)

где C(n,k) - биномиальный коэффициент "n по k".

В нашем случае, n = 20. Подставим значения a и b в формулу и применим биномиальные коэффициенты:

(1 + (-i))^20 = (1^20)(C(20,0))((-i)^0) + (1^19)(C(20,1))((-i)^1) + ... + (1^0)(C(20,20))((-i)^20)

Теперь приведем формулу к более простому виду, заменив значения:

(1 - i)^20 = C(20,0)(1^20)(-i^0) + C(20,1)(1^19)(-i^1) + ... + C(20,20)(1^0)(-i^20)

Упростим выражения:

C(20,0)(1^20)(-i^0) = 1 * 1 * (-i^0) = 1 * 1 * 1 = 1 C(20,1)(1^19)(-i^1) = 20 * 1 * (-i^1) = 20 * (-i) = -20i C(20,2)(1^18)(-i^2) = 190 * 1 * (-i^2) = 190 * (-1) = -190 ... C(20,20)(1^0)(-i^20) = 1 * 1 * (-i^20) = 1 * (-1) = -1

Теперь мы можем сложить все члены выражения:

(1 - i)^20 = 1 - 20i - 190 + ... + (-1)

Суммируя все члены, мы получим:

(1 - i)^20 = -116 + (-20i)

Таким образом, (1 - i) в 20-й степени равно -116 - 20i.