Question

На плоскости проведено 12 прямых.Докажите, что какие-то две из них образуют угол не больше 15°.

Answer 1

Это   оригинальная задача.  Возможно 2   варианта:
Либо среди них есть   хотя бы 1  паралельная прямая   либо их  нет.
В  первом варианте   ,если паралельные прямые  есть,то   угол  между ними 0   градусов,а  значит в этогм случае  условие выполняется <15 градусов.
2  вариант:  Когда параллельных   прямых нет, то тк по   аксиоме планиметрии любые две не параллельные прямые пересекаются,тк  все  они   не паралельны   друг другу,то  если  рассмотреть   произвольную прямую L,то   все остальные прямые пересекут данную.  Воспользуемся   теперь свойством,что если прямая пересекает   другую прямую под углом  A,то параллельная  ей прямая пересекает эту   прямую под тем же самым  углом.  Отметим   на прямой L  точку  A;
А  теперь   построим  к каждой их оставшихся 11   прямых  прямую  (клон)
Паралельную этой прямой и проходящей  через   точку A!!!!  из   сказанного   выше  все углы между любыми двумя прямыми  клонами   к данным  будут равны углам между любыми 2 прямыми   не клонами,то есть все углы между  прямыми сохранятся тк   мы проводили только параллельные прямые!!!!!
Таким   образом  мы получим пучок  прямых   в точке  A  со всеми  углами   между  2 прямыми анологичные старым.  Теперь мы не   будем рассматривать все углы,а только   те  между которыми не проведено  других прямых.  Если    мы  покажем  что среди  выбранных из всей  массы углов  есть хотя бы один угол не более  15 градусов,то естественно этот угол можно будет найти и во всей массе углов  это очевидно.  Итак   проведем доказательство:  Положим что   среди выбранных углов  все больше   чем 15  градусов,тк у   нас  12  прямых  и они   лежат в пучке  A, то всего   соседних углов 12   штук.   Прямая  L   образует полный   развернутый угол 180   градусов. Если бы все углы   были по 15   градусов то   суммарный угол был бы как раз  15*12=180!!!Но  тогда если   все углы будут более  15 градусов,то  выйдет   что величина развернутого угла L будет превышать  180   градусов,тогда  мы пришли к противоречию ,а значит такое невозможно,но тогда хотя бы один   из углов менее  или равен 15   градусов.
А   раз среди углов клонов найдется такой угол,то и среди углов не клонов такой угол тоже найдется.
Что и требовалось доказать!!!!!!!

Answer 2

Доказательство этого утверждения можно провести с использованием принципа Дирихле, также известного как принцип ящиков.

Итак, у нас есть 12 прямых на плоскости. Рассмотрим точку пересечения этих прямых. Пусть эта точка будет (0, 0) для удобства.

Теперь рассмотрим каждую из прямых. Каждая прямая может быть представлена уравнением вида y = mx + b, где m - это угловой коэффициент прямой, а b - это точка пересечения с осью ординат.

Мы знаем, что угол между двумя прямыми можно вычислить с использованием формулы угла между двумя прямыми:

θ = arctan(|(m1 - m2) / (1 + m1 * m2)|)

Где m1 и m2 - угловые коэффициенты двух прямых.

Теперь давайте рассмотрим возможные значения углов между парами прямых. Угол будет наименьшим, когда числитель в формуле угла будет минимальным, а знаменатель будет максимальным.

Минимальное значение числителя |(m1 - m2)| возможно, когда две прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, то есть m1 = m2. В этом случае числитель равен нулю.

Максимальное значение знаменателя (1 + m1 * m2) возможно, когда произведение угловых коэффициентов равно -1, то есть m1 * m2 = -1. В этом случае знаменатель равен 2.

Таким образом, наименьший возможный угол между двумя прямыми будет:

θ = arctan(|(0 - 0) / 2|) = arctan(0) = 0°

То есть, наименьший возможный угол между любыми двумя прямыми равен 0°.

Следовательно, какие-то две из этих 12 прямых образуют угол не больше 15°, так как 15° больше 0°.

Таким образом, мы доказали, что какие-то две из данных 12 прямых образуют угол не больше 15°.