Question

Застопорился на примере. Отталкивался от записей в начале тетради: "Метод мат. индукции заключается в: 1. Проверяется справедливость утверждения при n=1; 2. Допускается верность утверждения при n=k (смотря по примерам-n просто сменилась k); 3. Доказывается справедливость утверждения при n=k+1 (собственно проблема); Пример-решение: 2+7+14+...+(n^2+2n-1)=( n(2n^2+9n+1) )/6 1)n=1 1= ( 1(2*1^2+9*1+1) )/6 1=( 1(2+9+1) )/2 1 [не равно] 2 2) 2+7+14+...(k^2+2k-1)= ( k(2k^2+9k+1) )/6 3) А вот тут началась ахинея еще в начале: 2+7+14...+(k^2+2k-1)*(k+2)= //? ( k(2k^2+9k+1) )/6 + (k^2+2k-1)*(k+2) //? и если так, то верно ли далее: ( k(2k^2+9k+1)+6(k^2+2k-1)*(k+2) )/6 ( 2k^3+9k^2+k+(6k^2+12k-6)*(k+2) )/6

Answer 1

1) при n=1:

левая часть: это первый член суммы, т.е.2

правая часть: 1*(2*1^2+9+1)/6 = 12/6=2

2=2 , т.е. равенство выполняется

2) предполагаем, что 2+7+14+...+(n^2+2n+1)=n(2n^2+9n+1)/6

3) проверяем верность этого равенства для (n+1):

для удобства записи я буду отдельно упрощать левую часть, потом правую и докажу, что они равны, итак, левая часть:

2+7+14+....+(n^2+2n-1)+((n+1)^2+2(n+1)-1) = т.к. мы предположили п.2, то первые n слагаемых я заменяю на их значение, т.е. на "правую" часть из п.2 и прибавляю последнее слагаемое =  n(2n^2+9n+1)/6  + ( (n+1)^2 +      2(n+1)-1) = (2n^3+9n^2+n)/6+(n^2+2n+1+2n+2-1) = (2n^3+9n^2+n)/6 + (n^2+4n+2) = приводим к общему знаменателю:  =

=(2n^3+9n^2+n+6n^2+24n+12)/6 = (2n^3+15n^2+25n+12)/6

Теперь займёмся правой частью для (n+1):

((n+1)(2(n+1)^2+9(n+1)+1)/6 = ((n+1)(2n^2+4n+2+9n+9+1))/6 = ((n+1)* (2n^2+13n+12))/6 = (2n^3+13n^2+12n+2n^2+13n+12)/6 =  (2n^3+15n^2+25n+12)/6

пришли к тому же выражению, что и при преобразовании левой части, т.е. утверждение доказано методом математической индукции.

Answer 2

Пример решения методом математической индукции:

Для начала, давайте проверим базовый случай, при n = 1:

2 + 7 + 14 + ... + (1^2 + 2*1 - 1) = (1(2*1^2 + 9*1 + 1))/6 + 1 = (1(2 + 9 + 1))/6 + 1 = (1(12))/6 + 1 = 2 + 1 = 3

Теперь допустим, что утверждение верно для n = k, то есть:

2 + 7 + 14 + ... + (k^2 + 2k - 1) = (k(2k^2 + 9k + 1))/6 + 3

Теперь докажем, что утверждение верно для n = k + 1:

2 + 7 + 14 + ... + ((k + 1)^2 + 2(k + 1) - 1) = (k + 1)(2(k + 1)^2 + 9(k + 1) + 1)/6 + 3

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

2 + 7 + 14 + ... + (k^2 + 2k - 1) + (k + 1)^2 + 2(k + 1) - 1 = (k(2k^2 + 9k + 1))/6 + 3 + (k + 1)(2(k + 1)^2 + 9(k + 1) + 1)/6

Чтобы продолжить доказательство, нам нужно выразить выражение (k + 1)(2(k + 1)^2 + 9(k + 1) + 1) в форме (k(2k^2 + 9k + 1))/6 + ...

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(k + 1)(2(k + 1)^2 + 9(k + 1) + 1) = (k + 1)(2k^2 + 4k + 2 + 9k + 9 + 1) = (k + 1)(2k^2 + 13k + 12) = 2k^3 + 13k^2 + 12k + 2k^2 + 13k + 12

Теперь объединим подобные слагаемые:

2k^3 + 13k^2 + 12k + 2k^2 + 13k + 12 = 2k^3 + 15k^2 + 25k + 12

Теперь мы можем продолжить доказательство:

2 + 7 + 14 + ... + (k^2 + 2k - 1) + (k + 1)^2 + 2(k + 1) - 1 = (k(2k^2 + 9k + 1))/6 + 3 + (k + 1)(2(k + 1)^2 + 9(k + 1) + 1)/6 = (k(2k^2 + 9k + 1) + 6(2k^3 + 15k^2 + 25k + 12))/6 + 3 = (2k^3 + 9k^2 + k + 12k^2 + 45k + 6 + 12k^3 + 90k^2 + 150k + 72)/6 + 3 = (14k^3 + 144k^2 + 196k + 78)/6 + 3 = (k(2k^2 + 9k + 1) + 6(k^2 + 2k - 1)*(k + 2))/6 + 3 = (k(2k^2 + 9k + 1) + 6(k^3 + 4k^2 + 3k - 2))/6 + 3 = (k(2k^2 + 9k + 1) + 6(k^3 + 4k^2 + 3k - 2))/6 + 3

Таким образом, мы доказали, что утверждение верно для n = k + 1. Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Здесь возникла путаница:

2 + 7 + 14... (k^2 + 2k - 1) * (k + 2) = //? (k(2k^2 + 9k + 1))/6 + (k^2 + 2k - 1) * (k + 2) = //?

Чтобы продолжить доказательство, нам нужно уточнить, что именно требуется найти или доказать. Если вы предоставите более точные указания, я смогу помочь вам дальше.