Question

Помогите найти общее решение уравнения y''=1/2(y')^2

Answer 1

ДУ, допускающее понижение порядка.
Посмотрите предложенный вариант. Оформление не соблюдалось.

Answer 2

Для начала, давайте представим y'' как производную y' по переменной t. Тогда наше уравнение примет вид:

y'' = 1/2(y')^2

Теперь мы можем ввести замену: пусть y' = v, тогда y'' = dv/dt. Таким образом, наше уравнение преобразуется в:

dv/dt = 1/2v^2

Теперь это уравнение можно решить методом разделения переменных. Для этого мы можем переписать его в виде:

1/v^2 dv = 1/2 dt

Интегрируя обе стороны уравнения, получим:

-1/v = t/2 + C

Где C - произвольная постоянная. Теперь мы можем решить это уравнение относительно v:

v = -1/(t/2 + C)

Теперь мы можем вернуться к исходной функции y(t) и проинтегрировать v относительно t, чтобы получить y(t):

y(t) = -ln(|t/2 + C|) + D

Где D - еще одна произвольная постоянная. Таким образом, мы получили общее решение уравнения y'' = 1/2(y')^2 в виде y(t) = -ln(|t/2 + C|) + D.