Question

Помогите решить уравнения нужно срочно cosxcos3x=cos7xcos5x (корень из 3)-4sinxcosx=0

Answer 1

√3-4sinxcosx=0 
2sin2x=-√3 
sin2x=-√3/2 
2x=-(-1)ᵏ•(π/3)+πk 
x=-(-1)ᵏ•(π/6)+πk/2,k∈Z

Answer 2

Давайте разберемся с уравнениями по порядку.

Уравнение 1: cos(x)cos(3x) = cos(7x)cos(5x)

Для решения этого уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства косинуса. Прежде всего, давайте применим идентичность произведения косинусов:

cos(A)cos(B) = 0.5[cos(A - B) + cos(A + B)]

Применим это тождество к нашему уравнению:

0.5[cos(x - 3x) + cos(x + 3x)] = cos(7x)cos(5x)

Упрощаем:

0.5[cos(-2x) + cos(4x)] = cos(7x)cos(5x)

Теперь, давайте используем другую идентичность:

cos(A)cos(B) = 0.5[cos(A + B) + cos(A - B)]

Применим эту идентичность к правой части уравнения:

0.5[cos(7x + 5x) + cos(7x - 5x)] = cos(7x)cos(5x)

Упрощаем:

0.5[cos(12x) + cos(2x)] = cos(7x)cos(5x)

Теперь мы имеем две части уравнения, которые равны друг другу:

0.5[cos(-2x) + cos(4x)] = 0.5[cos(12x) + cos(2x)]

Упрощаем:

cos(-2x) + cos(4x) = cos(12x) + cos(2x)

Теперь объединим подобные термы:

cos(-2x) - cos(2x) + cos(4x) - cos(12x) = 0

Далее, давайте применим формулу разности косинусов:

cos(A) - cos(B) = -2sin((A + B)/2)sin((A - B)/2)

Применим эту формулу к нашему уравнению:

-2sin(0)sin(2x) - 2sin(8x)sin(-4x) = 0

Упрощаем:

-2sin(2x) + 2sin(8x)sin(4x) = 0

Теперь, давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: sin(2x) = 0

Если sin(2x) = 0, то угол 2x может быть равен 0 или π.

2x = 0 => x = 0

2x = π => x = π/2

Случай 2: sin(8x)sin(4x) = 0

Если sin(8x)sin(4x) = 0, то один из множителей должен быть равен 0.

1. sin(8x) = 0

В этом случае, угол 8x может быть равен 0, π, 2π, ...

8x = 0 => x = 0 8x = π => x = π/8 8x = 2π => x = π/4 ... 2. sin(4x) = 0

В этом случае, угол 4x может быть равен 0, π, 2π, ...

4x = 0 => x = 0 4x = π => x = π/4 4x = 2π => x = π/2 ...

Таким образом, решениями уравнения cos(x)cos(3x) = cos(7x)cos(5x) являются x = 0, x = π/8, x = π/4 и другие значения, которые являются кратными π/8 или π/4.

Уравнение 2: √3 - 4sin(x)cos(x) = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать свойства синуса и косинуса. Давайте приведем его к более удобному виду:

√3 = 4sin(x)cos(x)

Теперь, давайте применим формулу удвоения косинуса:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Применим эту формулу к правой части уравнения:

√3 = 4sin(x)(2cos^2(x) - 1)

Раскрываем скобки:

√3 = 8sin(x)cos^2(x) - 4sin(x)

Теперь, давайте заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x) с использованием тождества Пифагора:

√3 = 8sin(x)(1 - sin^2(x)) - 4sin(x)

Раскрываем скобки:

√3 = 8sin(x) - 8sin^3(x) - 4sin(x)

Упрощаем:

√3 = 4sin(x) - 8sin^3(x)

Теперь у нас есть уравнение только с sin(x). Обозначим sin(x) как t:

√3 = 4t - 8t^3

Теперь это кубическое уравнение. Чтобы решить его, мы можем привести его к стандартной форме:

8t^3 - 4t + √3 = 0

Решения этого кубического уравнения могут быть найдены аналитически, но они достаточно сложны. В данном случае, я рекомендую использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенные значения t и, следовательно, sin(x).

Вывод

Таким образом, решениями уравнений cos(x)cos(3x) = cos(7x)cos(5x) и √3 - 4sin(x)cos(x) = 0 являются x = 0, x = π/8, x = π/4 и другие значения, которые являются кратными π/8 или π/4. Однако, для уравнения √3 - 4sin(x)cos(x) = 0, для нахождения точных значений x требуется использование численных методов.