Question

Пожалуйста, объясните как делятся, умножаются и сокращаются дроби.

Answer 1

Обыкновенные дроби:
Для начала поговорим о "строении" обыкновенных дробей. Возьмем для примера дробь $\frac{2}{7}$. Сама дробь показывает, что мы делим целое(единицу) на 7 частей и берем две. 2 - числитель, 7 - знаменатель, а черточка обозначает деление.
Сокращение:
Вообще, у обыкновенных дробей есть основное свойство - при делении или умножении числителя и знаменателя на одно и тоже число дробь не изменится(ну визуально изменится). Для примера возьмем $\frac{1}{2}$. Разделим 1 на 2(вспоминаем, что черточка обозначает деление). Получится 0,5. А теперь умножим числитель и знаменатель, предположим, на 3. Получится $\frac{3}{6}$. Разделите 3 на 6. Получится тоже 0,5. Понятно? Это пригодится в изучении обыкновенных дробей.
Приступим к сокращению.
Оно применяется, тогда, когда можно сделать дробь с максимально наименьшим числителем и знаменателем. Но в дроби не должно быть десятичных дробей(0,5 или 0,6, например, то есть цифр с запятыми, и да, это только при сокращении, бывают пропорции с десятичными дробями в обыкновенных). То есть возьмем $\frac{2}{7}$. Можно ли ее сократить? Есть ли общие делители у 2 и 7? Или они взаимно простые? Конечно, они взаимно простые. Значит и сократить нельзя. То есть для сокращении обыкновенных дробей нужны делители знаменателя и числителя. $\frac{6}{15}$ - сократите. Получилось? Думаем над общими делителями. 6 и 15 делятся на 3. Делим. Получится 2/5. Ну а дальше делителей нет. Значит все. Думаю, насчет сокращения все понятно.
Умножение обыкновенных дробей
Умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. Если же умножаем на целое число или целое число на дробь, то умножаем целое на числитель, а знаменатель оставляем. И не забываем сокращать результат. Также можно делать интересную вещь. Представим умножение $\frac{6}{10} * \frac{20}{2}$. Можно умножать числитель на числитель и знаменатель на знаменатель сразу. НО,почему бы не сократить 6 и 2, 10 и 20. Это делать можно. Можно сокращать числа, как дроби, если одно число в числителе, другое в знаменателе. То есть можно получить 3 и 1,  1 и 2. Получим $\frac{3}{1} * \frac{2}{1}$. А дальше легко. 3*2=6. 1*1=1. Получим результат 6/1. Или 6(да, еще один пункт про сокращение. Просто разделите числитель на знаменатель. Получите  6. И вообще, если знаменатель равен 1, его можно выкидывать). Предположим умножение на целое число. Пусть будет $\frac{2}{5} * 4$. Тут можно сократить 4 и 2(можно сокращать целые числа и числители). Получим 1/5 *2. Умножаем числитель на целое, знаменатель оставляем. 2/5. Если встретилось число по типу $2 \frac{2}{9}$ - это смешанное число. Нужно из него получить дробь. Умножаем знаменатель(9( на целое(2) и прибавляем числитель(2). Получим $\frac{20}{9}$. 
Деление обыкновенных дробей
Есть понятие обратных дробей. Это перевернутая дробь. То есть на место знаменателя стает значение числителя, а на место числителя значение знаменателя. То есть у дроби $\frac{2}{10}$ обратной будет $\frac{10}{2}$. У числа 2 обратным будет $\frac{1}{2}$(ведь 2 - это $\frac{2}{1}$).Если смешанное число, то переводим в дробь(выше описывал). Чтобы делить дроби нужно делитель сделать обратной дробью, заменить знак деления на знак умножения и умножать. Приведем пример $\frac{1}{3} : 2$. Обратное число двух - 1/2. Заменяем деление на умножение. Получим $\frac{1}{3} * \frac{1}{2}$. Умножаем. 1*1=1, 3*2=6. Получим 1/6. Или приведем пример $\frac{81}{45} : \frac{45}{35}$. Да, есть соблазн сократить 45 и 45. Но делать это пока нельзя. На данном этапе вообще сокращать нельзя. Сначала нужно преобразовать деление в умножение. Получим $\frac{81}{45} * \frac{35}{45}$. Теперь сокращаем. Можно сократить 81 и 45(делятся на 9) и 35 и 45(делятся на 5). Сокращаем. Получаем $\frac{9}{9} * \frac{7}{5}$. Сократить нельзя? Можно. 9/9 - 1. Получаем 7/5 умножить на 1. Получаем 7/5. Но эту дробь можно перевести в смешанное число. Сколько раз 5 помещается в 7? один раз. Значит тут есть целое(1). Вычитаем теперь это целое, то есть 5/5 из 7/5. Получаем 2/5. Значит ответ в нашем делении - $1 \frac{2}{5}$. А тут даже можно перевести в неправильную дробь) Разделите 2 на 5. Получим 0,4. И в правду, 2/5=0,4. Значит можно и ответить 1,4. Но переводить в десятичную дробь совсем не обязательно.
P.s в моих объяснениях есть числа по типу 2/1 и 3/6 - это те же самые дроби, просто в интернете их пишут так, т.е вышеприведенные дроби равносильны $\frac{2}{1}; \frac{3}{6}$/
Надеюсь, что теперь уж точно все понятно, и что эти 40 минут я потерял не просто так(хотя сейчас на знаниях в это время суток мало вопросов для меня)

Answer 2

1)Чтобы поделить две дроби нужно поменять числитель и знаменатель второй дроби местами и умножить на первую дробь, например:$\frac{x}{y} : \frac{a}{c} = \frac{x}{y}$×$\frac{c}{a}$=$\frac{xc}{ay}$
2)Чтобы умножить две дроби нужно просто перемножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель 

Answer 3

Деление дробей

Деление дробей происходит путем умножения первой дроби на обратную второй дробь. Для деления дробей a/b и c/d, мы умножаем первую дробь на обратную второй дробь:

a/b ÷ c/d = a/b * d/c

Например, если мы хотим разделить 2/3 на 4/5, мы умножаем первую дробь на обратную второй дробь:

2/3 ÷ 4/5 = 2/3 * 5/4

Умножение дробей

Умножение дробей происходит путем умножения числителей и знаменателей дробей. Для умножения дробей a/b и c/d, мы умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

a/b * c/d = (a * c) / (b * d)

Например, если мы хотим умножить 2/3 на 4/5, мы умножаем числитель и знаменатель:

2/3 * 4/5 = (2 * 4) / (3 * 5) = 8/15

Сокращение дробей

Сокращение дробей происходит путем деления числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель (НОД). НОД - это наибольшее число, на которое можно разделить оба числа без остатка.

Например, если у нас есть дробь 8/12, мы можем сократить ее, разделив числитель и знаменатель на их НОД, который равен 4:

8/12 = (8 ÷ 4) / (12 ÷ 4) = 2/3

Таким образом, мы сократили дробь 8/12 до 2/3.

Примеры:

1. Деление дробей: 2/3 ÷ 4/5 - Умножаем первую дробь на обратную второй дробь: 2/3 * 5/4 - Ответ: 10/12 (сокращенно: 5/6)

2. Умножение дробей: 2/3 * 4/5 - Умножаем числитель и знаменатель: (2 * 4) / (3 * 5) - Ответ: 8/15

3. Сокращение дробей: 8/12 - Находим НОД числителя и знаменателя: НОД(8, 12) = 4 - Делим числитель и знаменатель на НОД: (8 ÷ 4) / (12 ÷ 4) - Ответ: 2/3

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.