Question

Решить интеграл посредством замены. Но как? dy/(1-y^2) Если делать как u = 1-y^2, du = -2ydy, а дальше идет бред в виде -du/2y = dy. ПОМОГИТЕ

Answer 1

∫1/(1-y^2)dy= -∫1/(y^2-1)=1/2ln|(y-1)/(y+1)|+C

Answer 2

Для решения данного интеграла с помощью замены, мы можем воспользоваться методом подстановки. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

Шаг 1: Выбор подходящей замены

Для интеграла ∫(dy / (1 - y^2)), мы можем выбрать замену u = 1 - y^2. Это позволит нам преобразовать исходный интеграл в новый интеграл, который будет проще решить.

Шаг 2: Вычисление производной замены

Чтобы продолжить, нам нужно вычислить производную замены du/dy. В данном случае, производная будет равна du/dy = -2y.

Шаг 3: Замена переменных

Теперь мы можем заменить переменные в исходном интеграле. Заменим dy на -du / (2y). Тогда интеграл примет следующий вид: ∫(-du / (2y)) / (1 - y^2)

Шаг 4: Упрощение интеграла

Далее, мы можем упростить интеграл, объединив дроби: ∫(-du) / (2y(1 - y^2))

Шаг 5: Разложение на простые дроби

Для дальнейшего упрощения интеграла, мы можем разложить дробь на простые дроби. Для этого нам понадобится разложить знаменатель на множители: 1 - y^2 = (1 - y)(1 + y)

Теперь мы можем разложить исходную дробь на простые дроби следующим образом: (-1/4) * (1 / (1 - y)) + (1/4) * (1 / (1 + y))

Шаг 6: Интегрирование простых дробей

Теперь мы можем проинтегрировать каждую простую дробь отдельно. Результат будет следующим: (-1/4) * ln|1 - y| + (1/4) * ln|1 + y| + C

Где C - произвольная постоянная.

Таким образом, решение исходного интеграла ∫(dy / (1 - y^2)) с помощью замены будет: (-1/4) * ln|1 - y| + (1/4) * ln|1 + y| + C

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.