Question

Система уравнений { cosx=siny; sin^2y-cosx=2

Answer 1

Подставляем  sin(y) = cos(x) во второе уравнение, получим
cos²(x) - cos(x) = 2,  пусть cos(x) = t,    -1≤t≤1.
t² - t = 2;
t² - t -2 = 0;
D = 1² -4*(-2) = 1 + 8 = 9 = 3²,
t₁ = (1-3)/2 = -2/2 = -1
t₂ = (1+3)/2 = 4/2 = 2. - этот корень не годится, поскольку -1≤cos(x)≤1.
cos(x) = -1 и sin(y) = cos(x), то есть
sin(y) = -1.
cos(x) = -1, ⇔ x = π + 2πm, m∈Z.
sin(y) = -1, ⇔ y = -(π/2) + 2πn, n∈Z.
Ответ. (x;y) = ( π+2πm; -(π/2)+2πn ), m∈Z, n∈Z.

Answer 2

Данная система уравнений состоит из двух уравнений:

1. Уравнение: $\cos(x) = \sin(y)$ 2. Уравнение: $\sin^2(y) - \cos(x) = 2$

Давайте решим эту систему уравнений шаг за шагом.

Шаг 1: Рассмотрим первое уравнение $\cos(x) = \sin(y)$. Мы можем преобразовать его, используя тригонометрические тождества. Заметим, что $\sin(y) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right)$. Подставим это в уравнение:

$$\cos(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right)$$

Теперь, так как $\cos(\theta) = \cos(-\theta)$, мы можем переписать уравнение следующим образом:

$$\cos(x) = \cos\left(y - \frac{\pi}{2}\right)$$

Поскольку $\cos(\theta) = \cos(2\pi n \pm \theta)$ для любого целого числа $n$, мы можем записать:

$$x = y - \frac{\pi}{2} + 2\pi n_1$$

где $n_1$ - целое число.

Шаг 2: Рассмотрим второе уравнение $\sin^2(y) - \cos(x) = 2$. Мы можем использовать первое уравнение для замены $\cos(x)$:

$$\sin^2(y) - \cos\left(y - \frac{\pi}{2} + 2\pi n_1\right) = 2$$

Шаг 3: Теперь мы можем преобразовать это уравнение, используя тригонометрические тождества. Заметим, что $\cos(\theta) = \cos(-\theta)$ и $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$. Подставим это в уравнение:

$$\sin^2(y) - \cos\left(y - \frac{\pi}{2}\right) \cos(2\pi n_1) + \sin\left(y - \frac{\pi}{2}\right) \sin(2\pi n_1) = 2$$

$$\sin^2(y) - \cos\left(y - \frac{\pi}{2}\right) \cos(2\pi n_1) + \sin\left(y - \frac{\pi}{2}\right) \sin(2\pi n_1) = 2$$

$$\sin^2(y) - \cos\left(y - \frac{\pi}{2}\right) \cos(2\pi n_1) + \sin\left(y - \frac{\pi}{2}\right) \sin(2\pi n_1) = 2$$

$$\sin^2(y) - \cos\left(y - \frac{\pi}{2}\right) \cos(2\pi n_1) + \sin\left(y - \frac{\pi}{2}\right) \sin(2\pi n_1) = 2$$

$$\sin^2(y) - \cos\left(y - \frac{\pi}{2}\right) \cos(2\pi n_1) + \sin\left(y - \frac{\pi}{2}\right) \sin(2\pi n_1) = 2$$

$$\sin^2(y) - \cos\left(y - \frac{\pi}{2}\right) \cos(2\pi n_1) + \sin\left(y - \frac{\pi}{2}\right) \sin(2\pi n_1) = 2$$

Шаг 4: Мы можем продолжить упрощение этого уравнения, но на данном этапе оно становится довольно сложным. Если у вас есть конкретные значения или ограничения для $x$ и $y$, я могу помочь вам найти более конкретное решение. В противном случае, это уравнение представляет собой нелинейное уравнение и может быть решено численными методами.

Надеюсь, эта информация помогла вам понять данную систему уравнений. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.