Question

X1, x2, x3, x4, x5 — положительные числа. Какое наименьшее значение может принимать выражение: sqrt[5]{ x1x2x3x4x5} * (1/x1 +1/x2 +1/x3 +1/x4+ 1/x5)

Answer 1

Можно воспользоваться неравенством между средним  арифметическим и средним геометрическим для чисел 1/x₁, 1/x₂, 1/x₃, 1/x₄, 1/x₅. А именно,
$(1/x_1+1/x_2+1/x_3+1/x_4+1/x_5)/5\ge \sqrt[5]{1/(x_1x_2x_3x_4x_5)}.$ Отсюда выражение из условия всегда не меньше 5, и ясно, что 5 достигается при x₁=x₂=x₃=x₄=x₅.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения нужно использовать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Сначала найдем среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел x1, x2, x3, x4, x5.

Среднее арифметическое: A = (x1 + x2 + x3 + x4 + x5) / 5

Среднее геометрическое: G = ∛(x1 * x2 * x3 * x4 * x5)

Теперь используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим: G ≤ A

Теперь найдем обратные значения чисел 1/x1, 1/x2, 1/x3, 1/x4, 1/x5.

Тогда выражение примет вид: G * (1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + 1/x4 + 1/x5) ≤ A * (1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + 1/x4 + 1/x5)

Таким образом, наименьшее значение выражения будет достигаться, когда x1 = x2 = x3 = x4 = x5.

Тогда выражение примет вид: ∛(x1 * x2 * x3 * x4 * x5) * (1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + 1/x4 + 1/x5) = 5

Таким образом, наименьшее значение выражения будет равно 5, и оно достигается, когда x1 = x2 = x3 = x4 = x5.