Question

Решите уравнение 2cos2x+4cos((3Пи/2)-x)+1=0

Answer 1

Для отбора корней удобнее записать ответ так: x1=Π/6+2Πn, n€Z; x2=5Π/6+2Πm, m€Z

Answer 2

Давайте решим уравнение 2cos(2x) + 4cos((3π/2) - x) + 1 = 0.

Для начала, давайте разберемся с углами. Сформулируем несколько простых правил:

1. cos(π - x) = -cos(x) 2. cos(2π - x) = cos(x) 3. cos(2π + x) = cos(x)

Применяя эти правила, можем переписать уравнение в другой форме:

2cos(2x) + 4cos(3π/2)cos(x) + 4sin(3π/2)sin(x) + 1 = 0

Теперь посмотрим на значения cos(3π/2) и sin(3π/2):

cos(3π/2) = 0 sin(3π/2) = -1

Подставим эти значения обратно в уравнение:

2cos(2x) + 4*0*cos(x) + 4*(-1)sin(x) + 1 = 0

Упростим уравнение еще дальше:

2cos(2x) - 4sin(x) + 1 = 0

Теперь обратимся к формулам двойного угла:

cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Подставим это значение обратно в уравнение:

2(1 - 2sin^2(x)) - 4sin(x) + 1 = 0

Упростим уравнение еще раз:

2 - 4sin^2(x) - 4sin(x) + 1 = 0

-4sin^2(x) - 4sin(x) + 3 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sin(x). Чтобы решить его, мы можем использовать квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = -4, b = -4 и c = 3.

Решим его с помощью квадратного уравнения:

sin(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

sin(x) = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4(-4)(3))) / (2(-4))

sin(x) = (4 ± √(16 + 48)) / (-8)

sin(x) = (4 ± √64) / (-8)

sin(x) = (4 ± 8) / (-8)

Теперь найдем значения sin(x):

1. sin(x) = (4 + 8) / (-8) = -3/2 2. sin(x) = (4 - 8) / (-8) = 1/2

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем использовать обратные функции синуса:

1. x = arcsin(-3/2) 2. x = arcsin(1/2)

Заметим, что sin(x) = -3/2 не имеет решений, так как это значение за пределами диапазона [-1, 1].

Таким образом, уравнение 2cos(2x) + 4cos((3π/2) - x) + 1 = 0 имеет одно решение:

x = arcsin(1/2)

Округлим результат до ближайшего градуса:

x ≈ 30°

Таким образом, решение уравнения 2cos(2x) + 4cos((3π/2) - x) + 1 = 0 состоит из одного значения x, которое приближенно равно 30°.