Question

Найти неопределенный интеграл xdx/x^2-6x+5

Answer 1

$\int\limits { \frac{xdx}{x^2-6x+5} } \,= \int\limits( { \frac{- \frac{1}{4} }{x-1} }+ \frac{ \frac{5}{4} }{x-5} ) \, dx =- \frac{1}{4} \int\limits { \frac{1}{x-1} } \, dx+ \frac{5}{4} \int\limits { \frac{1}{x-5} } \, dx =\\\\=- \frac{1}{4}\ln|x-1|+ \frac{5}{4}\ln|x-5|+C= \frac{5\ln|x-5|-\ln|x-1|}{4} +C$

Answer 2

Конечно! Чтобы найти неопределенный интеграл ∫(x / (x^2 - 6x + 5)) dx, мы можем использовать метод частного случая интегрирования подстановки. Давайте рассмотрим подробные шаги по решению этого интеграла.

Шаг 1: Разложение на простые дроби

Для начала нам нужно разложить дробь x / (x^2 - 6x + 5) на простые дроби. Для этого найдем разложение на простые дроби следующим образом:

x / (x^2 - 6x + 5) = A / (x - 1) + B / (x - 5)

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти.

Шаг 2: Нахождение коэффициентов

Чтобы найти коэффициенты A и B, мы можем сложить дроби с общим знаменателем и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x:

x = A(x - 5) + B(x - 1)

Раскрывая скобки и собирая коэффициенты при одинаковых степенях x, мы получаем:

x = (A + B)x - 5A - B

Из этого уравнения мы можем сопоставить коэффициенты при одинаковых степенях x и получить следующую систему уравнений:

A + B = 1 -5A - B = 0

Решая эту систему уравнений, мы находим A = -1 и B = 2.

Шаг 3: Интегрирование

Теперь, когда мы получили разложение на простые дроби и найденные коэффициенты A и B, мы можем проинтегрировать каждую дробь по отдельности:

∫(x / (x^2 - 6x + 5)) dx = ∫(-1 / (x - 1)) dx + ∫(2 / (x - 5)) dx

Интегрируя каждую дробь, мы получаем:

∫(x / (x^2 - 6x + 5)) dx = -ln|x - 1| + 2ln|x - 5| + C

где C - произвольная постоянная.

Итак, неопределенный интеграл ∫(x / (x^2 - 6x + 5)) dx равен -ln|x - 1| + 2ln|x - 5| + C, где ln обозначает натуральный логарифм, и C - произвольная постоянная.