Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=x^3+3x^2-45x-2 на отрезке: [-1;3]

Answer 1

Найти производную: 3х²+6х-45,приравнять к 0,решить квадратное уравнение 3х²+6х-45=0,Д=64,х1=-5 не принадлежит данному отрезку,х2=3, найти у(3)=3³+3*3²-45*3-2=-83- это наименьшее значение,                       у(-1)=-1+3+45-2=45 - наибольшее значение

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2 на отрезке [-1;3], мы можем воспользоваться процессом определения экстремумов функции. Экстремумы функции могут быть найдены путем нахождения ее критических точек и точек перегиба.

Нахождение критических точек:

1. Найдем производную функции y по переменной x: y' = 3x^2 + 6x - 45.

2. Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки: 3x^2 + 6x - 45 = 0.

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: D = b^2 - 4ac = (6)^2 - 4(3)(-45) = 36 + 540 = 576.

Так как дискриминант D положительный, у уравнения есть два действительных корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (-6 + 24) / (2(3)) = 18/6 = 3. x2 = (-b - √D) / (2a) = (-6 - 24) / (2(3)) = -30/6 = -5.

Получили две критические точки: x = 3 и x = -5.

3. Теперь найдем значения функции y в найденных критических точках и на концах отрезка [-1;3]: y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 45(-1) - 2 = -1 + 3 + 45 - 2 = 45. y(3) = (3)^3 + 3(3)^2 - 45(3) - 2 = 27 + 27 - 135 - 2 = -83. y(3) = (3)^3 + 3(3)^2 - 45(3) - 2 = 27 + 27 - 135 - 2 = -83.

Нахождение точек перегиба:

4. Найдем вторую производную функции y по переменной x: y'' = 6x + 6.

5. Решим уравнение y'' = 0, чтобы найти точки перегиба: 6x + 6 = 0. 6x = -6. x = -1.

Получили точку перегиба: x = -1.

Ответ:

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2 на отрезке [-1;3] равны соответственно 45 и -83. Также на этом отрезке есть точка перегиба при x = -1.