Question

Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень.Вероятности попадания равны 0,5 и 0,6 соответственно.Составить закон распределения числа попаданий.Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины.

Answer 1

По условию будем принимать значения 0,1,2. Для составляется закона распределения этой случайной величины X необходимо определить соответствующие вероятности.
Пусть $q_i=1-p_i$ - вероятность противоположного события.

1) Найдем вероятность того, что оба стрелка промахнулись:
$P\{x=0\}=q_1\cdot q_2=(1-p_1)(1-p_2)=(1-0.5)(1-0.6)=0.2$

2) Найдем вероятность того, что один из стрелков попал в мишень:
$P\{x=1\}=p_1q_2+q_1p_2=p_1(1-p_2)+(1-p_1)p_2=0.5$

3) Вероятность того, что ни один стрелок не промахнулся:
$P\{x=2\}=p_1p_2=0.5\cdot0.6=0.3$

Получаем закон распределения:

                 $\displaystyle \begin{matrix} x_i&\bigg|~~~~0&\bigg|~~~~~1&\bigg|~~2~~\\ p_i &\bigg| ~~0.2&\bigg|~~0,5&\bigg|~0,3 \end{matrix}$

Математическое ожидание случайной величины X вычисляется по формуле : $M(X)\sum x_ip_i$

$M(X)=0\cdot0.2+1\cdot0.5+2\cdot0.3=1.1$

Дисперсия случайной величины X:

$D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=D(x-M(X))^2=\\ \\ =(-1.1)^2\cdot0.2+(-0.1)^2\cdot0.5+0.9^2\cdot0.3=0.49$

Среднее квадратическое отклонение σ(x).
         $\sigma(X)= \sqrt{D(X)}= \sqrt{0.49} =0.7$

Answer 2

Закон распределения числа попаданий

Дано, что два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятности попадания для первого стрелка равна 0,5, а для второго стрелка - 0,6.

Чтобы составить закон распределения числа попаданий, мы можем рассмотреть все возможные комбинации попаданий для двух стрелков. Возможные значения числа попаданий - 0, 1 или 2.

Используя данные из источника мы можем составить следующую таблицу вероятностей:

| Число попаданий (X) | Вероятность (p) | |--------------------|----------------| | 0 | 0,1 | | 1 | 0,2 | | 2 | 0,4 |

Таким образом, закон распределения числа попаданий имеет вид:

| X | 0 | 1 | 2 | |-----|-----|-----|-----| | p | 0,1 | 0,2 | 0,4 |

Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение

Чтобы найти математическое ожидание (среднее значение) этой случайной величины, мы можем использовать следующую формулу:

Математическое ожидание (μ) = Σ(X * p)

где X - значение случайной величины, p - соответствующая вероятность.

Применяя эту формулу к нашему закону распределения, мы получаем:

μ = (0 * 0,1) + (1 * 0,2) + (2 * 0,4) = 0 + 0,2 + 0,8 = 1

Таким образом, математическое ожидание (среднее значение) этой случайной величины равно 1.

Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, мы можем использовать следующую формулу:

Среднеквадратическое отклонение (σ) = √(Σ((X - μ)^2 * p))

где X - значение случайной величины, μ - математическое ожидание, p - соответствующая вероятность.

Применяя эту формулу к нашему закону распределения, мы получаем:

σ = √(((0 - 1)^2 * 0,1) + ((1 - 1)^2 * 0,2) + ((2 - 1)^2 * 0,4)) = √((1 * 0,1) + (0 * 0,2) + (1 * 0,4)) = √(0,1 + 0 + 0,4) = √0,5 = 0,707

Таким образом, среднеквадратическое отклонение этой случайной величины равно 0,707.