Question

Интеграл от 0 до а 2х+1 dx>0 (a>0)

Answer 1

$\int\limits^a_0 {(2x+1)} \, dx =(\frac{2x^2}{2}+x)\big|_0^a=a^2+a>0$ для $\forall a>0$

Answer 2

Интеграл, который вы предложили, выглядит следующим образом:

∫(0 to a) 2x + 1 dx > 0 (where a > 0)

Давайте разберемся, как решить этот интеграл.

Определение интеграла

Интеграл ∫(0 to a) 2x + 1 dx представляет собой операцию нахождения площади под кривой функции 2x + 1 от x = 0 до x = a на оси x.

Нахождение интеграла

Для нахождения значения данного интеграла можно произвести следующие шаги:

1. Интегрирование функции 2x + 1: ∫(2x + 1) dx = x^2 + x + C, где C - постоянная интеграции.

2. Подстановка пределов интегрирования: Подставим верхний и нижний пределы интегрирования: F(a) - F(0), где F(a) = a^2 + a, F(0) = 0^2 + 0 = 0.

3. Вычисление разности: F(a) - F(0) = a^2 + a - 0 = a^2 + a.

Условие на интеграл

Условие, что интеграл больше нуля ( ∫(0 to a) 2x + 1 dx > 0 ), означает, что площадь под кривой должна быть положительной.

Решение неравенства

Теперь, для того чтобы найти значения a, при которых интеграл положителен, мы можем решить неравенство a^2 + a > 0.

Решение неравенства a^2 + a > 0

Для нахождения значений a, удовлетворяющих данному неравенству, можно использовать методы анализа знаков, которые позволяют определить интервалы, на которых неравенство выполняется.

Давайте рассмотрим решение неравенства a^2 + a > 0:

1. Нахождение корней уравнения a^2 + a = 0: a^2 + a = 0 a(a + 1) = 0 Таким образом, корни уравнения: a = 0 и a = -1.

2. Анализ знаков: Рассмотрим знак выражения a^2 + a на интервалах (-∞, -1), (-1, 0), и (0, +∞). - На интервале (-∞, -1) выражение a^2 + a положительно. - На интервале (-1, 0) выражение a^2 + a отрицательно. - На интервале (0, +∞) выражение a^2 + a положительно.

Вывод

Таким образом, интеграл ∫(0 to a) 2x + 1 dx > 0 при a принадлежащем интервалу (-∞, -1) объединенному с интервалом (0, +∞).

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна дополнительная информация, пожалуйста, дайте мне знать!