Question

Найдите все значения а, при которых функция имеет все все точки экстремума.

Answer 1

Если у кубической параболы все критические точки - экстремумы,
то график примерно такой. Экстремумов два - минимум и максимум.
В этих точках производная равна 0.
y ' = 3x^2 + 12(a+3)x + 12 = 0
x^2 + 4(a+3)x + 4 = 0
D = 16(a+3)^2 - 16 = 16((a+3)^2 - 1) = 16(a+3-1)(a+3+1) = 16(a+2)(a+4)
Если этих точек две, то уравнение имеет 2 корня, то есть D > 0
(a+2)(a+4) > 0
a < -4 U a > -2

Answer 2

Для того чтобы найти все значения а, при которых функция f(x) имеет все точки экстремума, мы можем воспользоваться производной функции.

Пусть у нас есть функция f(x), тогда её производная f'(x) показывает нам точки, где функция имеет экстремумы. Найдем производную функции f(x) и приравняем её к нулю, чтобы найти точки экстремума.

После этого мы найдем вторую производную f''(x) и посмотрим её знак в точках экстремума. Если f''(x) > 0, то это точка минимума, если f''(x) < 0, то это точка максимума.

Таким образом, чтобы функция f(x) имела все точки экстремума, значение а должно быть таким, чтобы производная f'(x) имела корни для всех x, и вторая производная f''(x) имела постоянный знак во всех этих точках.

Таким образом, для нахождения всех значений а, при которых функция f(x) имеет все точки экстремума, необходимо найти корни производной f'(x) и анализировать знак второй производной f''(x) в этих точках.