Question

Вычислите площадь фигуры,ограниченой линиями y=x^+1 и y=-x^+4x+1 Как это делать

Answer 1

Y= -x²+4x+1   ,  y=x²+1

Точки пересечения:  -х²+4x+1=x²+1  ,  2x²-4x=0  ,  2x(x-2)=0
                                                                                  x₁=0 , x₂=2
$S= \int\limits^2_0 \, (-x^2+4x+1-(x^2+1))\, dx= \int\limits^2_0 \, (-2x^2+4x)\, dx=\\\\=(-2\cdot \frac{x^3}{3}+4\cdot \frac{x^2}{2})\Big |_0^2= -\frac{2}{3}\cdot 8+2\cdot 4=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1 и y = -x^2 + 4x + 1, можно использовать метод интегрирования.

Шаг 1: Найдите точки пересечения линий

Для начала, найдем точки пересечения линий y = x^2 + 1 и y = -x^2 + 4x + 1. Для этого приравняем уравнения друг к другу и решим полученное квадратное уравнение:

x^2 + 1 = -x^2 + 4x + 1

Решая это уравнение, получим две точки пересечения: x = 0 и x = 3.

Шаг 2: Определите пределы интегрирования

Так как фигура ограничена линиями y = x^2 + 1 и y = -x^2 + 4x + 1, пределы интегрирования будут соответствовать x-координатам точек пересечения, то есть от x = 0 до x = 3.

Шаг 3: Вычислите площадь фигуры

Для вычисления площади фигуры, ограниченной этими линиями, мы можем использовать определенный интеграл:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) и g(x) - это уравнения линий, ограничивающих фигуру, а [a, b] - пределы интегрирования.

В данном случае, площадь фигуры будет равна:

S = ∫[0, 3] ((x^2 + 1) - (-x^2 + 4x + 1)) dx.

Вычислим этот определенный интеграл:

S = ∫[0, 3] (2x^2 - 4x) dx.

Интегрируя это выражение, получим:

S = [2/3 * x^3 - 2x^2] от 0 до 3.

Подставляя пределы интегрирования, получим:

S = (2/3 * 3^3 - 2 * 3^2) - (2/3 * 0^3 - 2 * 0^2).

Упрощая это выражение, получим:

S = (2/3 * 27 - 2 * 9) - (0).

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1 и y = -x^2 + 4x + 1, равна 9 квадратным единицам.

Пожалуйста, обратите внимание, что данный ответ основан на предоставленных уравнениях линий и методе интегрирования.