Question

Даны координаты вершин треугольника А(2, 3, 4), В(3, 4, 4), С(4, 4, 6). Тогда внутренний угол треугольника при вершине A равен ..

Answer 1

Находим координаты векторов АВ=(1, 1, 0) АС=(2, 1, 2), ВС=(1, 0, 2)
Затем находим их длины АВ=(корень из:)2 АС=3 ВС=(корень из:)5.
Находим скалярное произведение (АВ, АС)=3
Произведение длин АВ и АС. |AB|*|AC|=3 (корня из)2
соsА= (АВ, АС)\|AB|*|AC|= 3\3(корня из:)2= 1\(корень из:)2 или (корень из:)2\2 => угол А=45 градусов.

Answer 2

Для решения данной задачи, можно использовать формулу скалярного произведения векторов и формулу нахождения косинуса угла между векторами.

Для начала, найдем векторы AB и AC, которые будут исходить из вершины A и направлены к вершинам B и C соответственно.

Вектор AB: AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (3 - 2, 4 - 3, 4 - 4) = (1, 1, 0)

Вектор AC: AC = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (4 - 2, 4 - 3, 6 - 4) = (2, 1, 2)

Затем, найдем скалярное произведение векторов AB и AC с помощью следующей формулы:

AB · AC = (x_AB * x_AC) + (y_AB * y_AC) + (z_AB * z_AC)

где x_AB, y_AB, z_AB - координаты вектора AB, x_AC, y_AC, z_AC - координаты вектора AC.

AB · AC = (1 * 2) + (1 * 1) + (0 * 2) = 2 + 1 + 0 = 3

Далее, найдем длины векторов AB и AC с помощью формулы длины вектора:

|AB| = √(x_AB^2 + y_AB^2 + z_AB^2) = √(1^2 + 1^2 + 0^2) = √(1 + 1 + 0) = √2

|AC| = √(x_AC^2 + y_AC^2 + z_AC^2) = √(2^2 + 1^2 + 2^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3

Наконец, найдем косинус угла между векторами AB и AC с помощью следующей формулы:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

где θ - угол между векторами AB и AC.

cos(θ) = 3 / (√2 * 3) = 3 / (3√2) = 1 / √2 = √2 / 2

Таким образом, получаем, что косинус угла между векторами AB и AC равен √2 / 2.

Для нахождения угла при вершине A, можно воспользоваться обратной тригонометрической функцией арккосинус:

θ = arccos(√2 / 2) ≈ 45°

Таким образом, внутренний угол треугольника при вершине A примерно равен 45 градусов.