Question

Только для тех кто понимает!! нужны эквивалентны бесконечно малых arcsin³x/2 и ln√(1 + 3x^2) у меня arcsin³x/2 ~ x^3/8 ln√(1 + 3x^2) ~ 3x^2 Что не так?

Answer 1

Эквиваленты бесконечно малых
sin x ~ x
arcsin x ~ x
(arcsin x)^3 ~ x^3
arcsin^3 (x/2) ~ (x/2)^3 = x^3/8

ln (1 + x) ~ x
ln √(1 + x) = 1/2*ln (1 + x) ~ x/2
ln √(1 + 3x^2) ~ 3x^2/2 = 1,5x^2

Answer 2

Похоже, у вас есть два выражения: arcsin³x/2 и ln√(1 + 3x^2), и вы хотите найти их эквивалентные бесконечно малые. Вы утверждаете, что arcsin³x/2 ~ x^3/8 и ln√(1 + 3x^2) ~ 3x^2. Однако, похоже, что ваши утверждения не совсем верны.

Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности:

1. Утверждение: arcsin³x/2 ~ x^3/8 Поиск результатов не дал точного соответствия этому утверждению. Однако, мы можем рассмотреть разложение в ряд Тейлора для функции arcsin(x) в окрестности x=0: arcsin(x) = x + (1/6)x^3 + O(x^5) Таким образом, мы можем записать: arcsin³x/2 = (x/2 + (1/6)(x/2)^3 + O((x/2)^5))^3 = (x/2)^3 + O(x^5) Как видно, разложение в ряд Тейлора для arcsin³x/2 содержит дополнительные члены, которые не учитываются в утверждении x^3/8. Поэтому, утверждение arcsin³x/2 ~ x^3/8 не является точным.

2. Утверждение: ln√(1 + 3x^2) ~ 3x^2 Поиск результатов не дал точного соответствия этому утверждению. Однако, мы можем рассмотреть разложение в ряд Тейлора для функции ln(1 + x) в окрестности x=0: ln(1 + x) = x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3 - (1/4)x^4 + O(x^5) Заметим, что √(1 + 3x^2) = 1 + (3/2)x^2 + O(x^4) (по разложению в ряд Тейлора для функции √(1 + x) в окрестности x=0) Подставим это в разложение для ln(1 + x): ln√(1 + 3x^2) = ln(1 + (3/2)x^2 + O(x^4)) = (3/2)x^2 + O(x^4) Как видно, разложение в ряд Тейлора для ln√(1 + 3x^2) содержит дополнительные члены, которые не учитываются в утверждении 3x^2. Поэтому, утверждение ln√(1 + 3x^2) ~ 3x^2 не является точным.

Таким образом, ваши утверждения не совпадают с точными эквивалентными бесконечно малыми разложений для данных функций. Возможно, вам потребуется более точное разложение в ряд Тейлора или другие методы для получения эквивалентных бесконечно малых.