Question

Братцы, помогите решить эти уравнения. 1)√x+2=√3-x 2)√1-x=x+1

Answer 1

1)


Если считать, что условие: √x+2=√3-x ::: $\sqrt{x} + 2 = \sqrt{3} - x$ , то решение будет:

1а)

$\sqrt{x} + 2 = \sqrt{3} - x$ ;

$\sqrt{x} = \sqrt{3} - 2 - x$ ;

$\sqrt{3} - 2 = \sqrt{3} - \sqrt{4} < 0$ , значит при неотрицательных $x$ всегда выполняется $\sqrt{3} - 2 - x < 0$ , что невозможно, занчит решений нет.

О т в е т : $x \in \emptyset$ ;




Если считать, что условие: √x+2=√3-x ::: $\sqrt{x+2} = \sqrt{3} - x$ , то решение будет:

1б)

$\sqrt{x+2} = \sqrt{3} - x$ ;

$\left\{ \begin{array}{l} x+2 \geq 0 ; \\ \sqrt{3} - x \geq 0 . \end{array}$ ;
$\left\{ \begin{array}{l} x \geq -2 ; \\ x \leq \sqrt{3} . \end{array}$ ;
$x \in [ -2 , \sqrt{3} ]$ ;

$( \sqrt{x+2} )^2 = ( \sqrt{3} - x )^2$ ;

$x + 2 = 3 -2 \sqrt{3} x + x^2$ ;

$x^2 - ( 1 + 2 \sqrt{3} ) x + 1 = 0$ ;

$D = ( 1 + 2 \sqrt{3} )^2 - 4*1*1 = 1 + 4\sqrt{3} + 12 - 4 = 4\sqrt{3} + 9$ ;

$x_1 = \frac{ 1 + 2\sqrt{3} - \sqrt{ 4\sqrt{3} + 9 } }{2}$ , решение входит в ОДЗ

$x_2 = \frac{ 1 + 2\sqrt{3} + \sqrt{ 4\sqrt{3} + 9 } }{2}$ , решение не входит в ОДЗ

О т в е т : $x = \frac{ 1 + 2\sqrt{3} - \sqrt{ 4\sqrt{3} + 9 } }{2} .$




Если считать, что условие: √x+2=√3-x ::: $\sqrt{x} + 2 = \sqrt{3-x}$ , то решение будет:

1в)

$\sqrt{x} + 2 = \sqrt{3-x}$ ;

ОДЗ:
$\left\{ \begin{array}{l} x \geq 0 ; \\ 3 - x \geq 0 . \end{array}$ ;
$\left\{ \begin{array}{l} x \geq 0 ; \\ x \leq 3 . \end{array}$ ;
$x \in [ 0 , 3 ]$ ;

$( \sqrt{x} )^2 + 2*\sqrt{x}*2 + 2^2 = ( \sqrt{3-x} )^2$ ;

$x + 4 \sqrt{x} + 4 = 3-x$ ;

$4 \sqrt{x}= -1 - 2x$ , что невозможно при неотрицательных значениях $x$ , занчит решений нет.

О т в е т : $x \in \emptyset$ ;




Если считать, что условие: √x+2=√3-x ::: $\sqrt{ x + 2 } = \sqrt{3-x}$ , то решение будет:

1г)

$\sqrt{x+2} = \sqrt{3-x}$ ;

ОДЗ:
$\left\{ \begin{array}{l} x + 2 \geq 0 ; \\ 3 - x \geq 0 . \end{array}$ ;
$\left\{ \begin{array}{l} x \geq -2 ; \\ x \leq 3 . \end{array}$ ;
$x \in [ -2 , 3 ]$ ;

$( \sqrt{ x + 2 } )^2 = ( \sqrt{3-x} )^2$ ;

$x + 2 = 3 - x$ ;

$2x = 1$ , что соответствует ОДЗ.

О т в е т : $x = \frac{1}{2} = 0.5$ ;





2) Если считать, что условие: √1-x=x+1 ::: $\sqrt{1-x} = x + 1$ , то решение будет:

$\sqrt{1-x} = x + 1$ ;

ОДЗ:
$\left\{ \begin{array}{l} 1-x \geq 0 ; \\ x + 1 \geq 0 . \end{array}$ ;
$\left\{ \begin{array}{l} x \leq 1 ; \\ x \geq -1 . \end{array}$ ;
$x \in [ -1 , 1 ]$ ;

$( \sqrt{1-x} )^2 = ( x + 1 )^2$ ;

$1-x = x^2 + 2x + 1$ ;

$x^2 + 3x = 0$ ;

$x ( x + 3 ) = 0$ ;

$x_1 = 0$ ;

$x_2 = -3$ , что не соответствует ОДЗ.

О т в е т : $x = 0$ .

Answer 2

Ответа на ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ вопрос  - нет.
Пишем так
(х+2)^0.5 = (3-x)^0.5
Возводим в квадрат ОБЕ части уравнения и получаем.
x+2= 3-x
2x= 1
x=0.5
Второе запишем так
(1-x)^0.5 = x+1
1-x = x^2+2x+1
Упрощаем
X^2 + 3x = Х*(Х+3) = 0
Два корня   X1=0  и Х2 = -3
Проверяем на ОДЗ - область допустимых значений - и видим. что корень уравнения Х2=-3 - не подходит. так как он ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ  по знаку. 
Подставляем -  [1-(-3)]^0.5 = 4^0.5= + + 2 = -3+1= - - - 2 - не подходит.
Остается ОДИН корень = Х=0.